Вариант 2: 1. Выберите верные равенства: a) 16a² + k² - 8ak = (4a - k)², б) k² + 8ak + 16a²=(4a-k)²; 2. На рисунке 1 угол АВК равен 36°, угол КВМ- прямой. Найдите угол МВС. 3. Путь между двумя городами легковой автомобиль проехал за 3 часа, а грузовой автомобиль за 4,5 часа. Скорость грузового автомобиля на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля. Найдите скорость грузового автомобиля. 4. В треугольнике АВС угол В равен 50°, угол С равен 70°. Биссектрисы АК и ВМ треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите величину угла КОМ. 5. Решите уравнение 5х + (x - 2)(x² + 2x + 4) - (-4 + x³) = 10.

Вариант 2

1. Выберите верные равенства:

Проверим каждое равенство:

1. \( (4a - k)^2 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot k + k^2 = 16a^2 - 8ak + k^2 \). Равенство \( 16a^2 + k^2 - 8ak = (4a - k)^2 \) верно.


2. \( (4a - k)^2 = 16a^2 - 8ak + k^2 \). Равенство \( k^2 + 8ak + 16a^2 = (4a - k)^2 \) неверно, так как \( +8ak \) вместо \( -8ak \).


3. \( (4a - k)^2 = 16a^2 - 8ak + k^2 \). Равенство \( 16a^2 - k^2 = (4a - k)^2 \) неверно.


4. \( (4a - k)^2 = 16a^2 - 8ak + k^2 \). Равенство \( k^2 - 8ak + 16a^2 = (4a - k)^2 \) верно.

Ответ: а) верно, б) неверно, в) неверно, г) верно.

2. Найдите угол МВС.

По условию, \( \angle ABK = 36^{\circ} \) и \( \angle KBM \) — прямой угол, то есть \( 90^{\circ} \).

\( \angle ABC = \angle ABK + \angle KBM = 36^{\circ} + 90^{\circ} = 126^{\circ} \).

Из рисунка видно, что \( \angle ABC \) и \( \angle MBC \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle MBC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \).

Ответ: \( 54^{\circ} \).

3. Найдите скорость грузового автомобиля.

Пусть \( v_l \) — скорость легкового автомобиля (км/ч), а \( v_g \) — скорость грузового автомобиля (км/ч).

Из условия задачи известно:

• Время легкового автомобиля: \( t_l = 3 \) часа.


• Время грузового автомобиля: \( t_g = 4,5 \) часа.


• \( v_g = v_l - 20 \).

Путь, пройденный легковым автомобилем: \( S = v_l \cdot t_l = 3v_l \).

Путь, пройденный грузовым автомобилем: \( S = v_g \cdot t_g = (v_l - 20) \cdot 4,5 \).

Так как путь одинаковый, приравниваем:

\( 3v_l = 4,5(v_l - 20) \)


\( 3v_l = 4,5v_l - 90 \)


\( 4,5v_l - 3v_l = 90 \)


\( 1,5v_l = 90 \)


\( v_l = \frac{90}{1,5} = 60 \) км/ч.

Скорость грузового автомобиля:

\( v_g = v_l - 20 = 60 - 20 = 40 \) км/ч.

Ответ: \( 40 \) км/ч.

4. Найдите величину угла КОМ.

В треугольнике \( ABC \) \( \angle B = 50^{\circ} \), \( \angle C = 70^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 70^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( AK \) — биссектриса \( \angle A \), значит, \( \angle OAK = \angle OAB = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

\( BM \) — биссектриса \( \angle B \), значит, \( \angle OBM = \angle OBA = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 50^{\circ} = 25^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( AOB \). Сумма углов в нем равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle OAB - \angle OBA = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 25^{\circ} = 125^{\circ} \).

Углы \( \angle AOB \) и \( \angle KOM \) — вертикальные, поэтому \( \angle KOM = \angle AOB = 125^{\circ} \).

Ответ: \( 125^{\circ} \).

5. Решите уравнение 5х + (x - 2)(x² + 2x + 4) - (-4 + x³) = 10.

Раскроем скобки:

\( 5x + (x^3 - 8) - (-4 + x^3) = 10 \) (используем формулу разности кубов \( (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 \))

\( 5x + x^3 - 8 + 4 - x^3 = 10 \)

\( 5x - 4 = 10 \)

\( 5x = 10 + 4 \)


\( 5x = 14 \)


\( x = \frac{14}{5} \).

Ответ: \( x = \frac{14}{5} \).