Вариант 2. 1) Вычислить: 1) cos75°; 2) sin20° cos50° − cos20° sin50°; 3) cos(2π/7) cos(5π/7) − sin(2π/7) sin(5π/7). 2) Упростите: sin(π/4 + α) + sin(π/4 − α). 3) Зная, что sin α = −9/41, 3π/2 < α < 2π, найдите sin(π/3 − α).

1) Вычислим.

1. \(\cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\).
2. По формуле синуса разности:
   \(\sin20^\circ\cos50^\circ-\cos20^\circ\sin50^\circ=\sin(20^\circ-50^\circ)=\sin(-30^\circ)=-\frac12\).
3. По формуле косинуса суммы:
   \(\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7}-\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{5\pi}{7}=\cos\left(\frac{2\pi}{7}+\frac{5\pi}{7}\right)=\cos\pi=-1\).

2) Упростим:

По формуле суммы синусов:

\(\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=2\sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha=\sqrt2\cos\alpha\).

3) Найдём \(\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\).

Так как \(\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi\), угол \(\alpha\) находится в IV четверти, поэтому \(\cos\alpha>0\).

\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{81}{1681}}=\frac{40}{41}\).

\(\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha-\cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha\)

\(=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{40}{41}-\frac12\cdot\left(-\frac9{41}\right)=\frac{40\sqrt3+9}{82}\).

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\); \(-\frac12\); \(-1\). 2) \(\sqrt2\cos\alpha\). 3) \(\frac{40\sqrt3+9}{82}\).