Вариант 2. 1. Выполните действия: а) дробно-рациональное выражение с неразборчивыми степенями и знаменателями; б) дробно-рациональное выражение с неразборчивыми показателями степеней; в) \(\frac{4a+4b}{b}\cdot\frac{7b^2}{a^2-b^2}\); г) \(\frac{y^2-49}{3y-24}:\frac{5y+35}{y-8}\). 2. Упростите выражения: 1) выражение с неразборчивым фрагментом; 2) \(\left(\frac{b+4}{b-4}-\frac{b-4}{b+4}\right):\frac{48b}{16-b^2}\). 3. Постройте график функции \(y=-\frac8x\). Какова область определения функции? При каких значениях \(x\) функция принимает положительные значения? 4. Упростите \(\left(\frac{b^2}{b+5}-\frac{b^3}{b^2+10b+25}\right):\left(\frac{b^2}{b+5}-\frac{b^2}{b^2-25}\right)\). 5. Известно, что \(a^2+\frac{49}{a^2}=50\). Найдите значение выражения \(a-\frac7a\).

В пунктах 1а, 1б и 2.1 степени и отдельные элементы записи неразборчивы; для их решения нужна более чёткая фотография.

1в. Используем \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \(\frac{4(a+b)}b\cdot\frac{7b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{28b}{a-b}\).

1г. Разложим на множители: \(y^2-49=(y-7)(y+7)\), \(3y-24=3(y-8)\), \(5y+35=5(y+7)\). Тогда результат деления равен \(\frac{(y-7)(y+7)}{3(y-8)}\cdot\frac{y-8}{5(y+7)}=\frac{y-7}{15}\). Ограничения: \(y\ne8,-7\).

2.2. Разность в скобках: \(\frac{(b+4)^2-(b-4)^2}{b^2-16}=\frac{16b}{b^2-16}\). Делитель равен \(-\frac{48b}{b^2-16}\), поэтому частное равно \(-\frac13\). Ограничения: \(b\ne-4,0,4\).

3. График — гипербола \(y=-\frac8x\), её ветви находятся во II и IV четвертях. Можно отметить точки \((1;-8),(2;-4),(4;-2),(-1;8),(-2;4),(-4;2)\). Область определения: \(D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\). Функция положительна при \(x<0\).

4. Первая скобка: \(\frac{b^2}{b+5}-\frac{b^3}{(b+5)^2}=\frac{5b^2}{(b+5)^2}\). Вторая скобка: \(\frac{b^2}{b+5}-\frac{b^2}{(b-5)(b+5)}=\frac{b^2(b-6)}{(b-5)(b+5)}\). Делим первую на вторую и сокращаем: \(\frac{5(b-5)}{(b+5)(b-6)}\). Ограничения исходного выражения: \(b\ne-5,5,6\).

5. \(\left(a-\frac7a\right)^2=a^2-14+\frac{49}{a^2}=50-14=36\). Следовательно, \(a-\frac7a=6\) или \(a-\frac7a=-6\).

Ответ: 1в) \(\frac{28b}{a-b}\); 1г) \(\frac{y-7}{15}\); 2.2) \(-\frac13\); 3) \(D=\mathbb R\setminus\{0\}\), положительные значения при \(x<0\); 4) \(\frac{5(b-5)}{(b+5)(b-6)}\); 5) \(\pm6\).