Вариант 2. 1. Выполните действия: а) $\frac{12m^4}{k^3}\cdot\frac{k^6}{9m^2}$; б) $\frac{3x^2}{16-y^2}:\frac{15x^5}{4+y}$; в) $\frac{x^2-1}{x^2-4}\cdot\frac{5x+10}{x+1}$. 2. Упростите выражение $\left(\frac{2x}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right):\frac{6x^2+9x+6}{x^2-4}$. 3. Докажите тождество $\frac{k}{k-m}+\frac{m^2+k^2}{mk+m^2}:\frac{m^2-2mk+k^2}{k^2}=\frac{k}{m}$. 4. Найдите значение $x$, при котором значение дроби $\frac{x+1}{x-3}$ больше значения дроби $\frac{7}{x}$ на 1.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2. 1. Выполните действия: а) $\frac{12m^4}{k^3}\cdot\frac{k^6}{9m^2}$; б)…$ Фото задания

Вариант 2. 1. Выполните действия: а) $\frac{12m^4}{k^3}\cdot\frac{k^6}{9m^2}$; б) $\frac{3x^2}{16-y^2}:\frac{15x^5}{4+y}$; в) $\frac{x^2-1}{x^2-4}\cdot\frac{5x+10}{x+1}$. 2. Упростите выражение $\left(\frac{2x}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right):\frac{6x^2+9x+6}{x^2-4}$. 3. Докажите тождество $\frac{k}{k-m}+\frac{m^2+k^2}{mk+m^2}:\frac{m^2-2mk+k^2}{k^2}=\frac{k}{m}$. 4. Найдите значение $x$, при котором значение дроби $\frac{x+1}{x-3}$ больше значения дроби $\frac{7}{x}$ на 1.

Accepted Answer

1а) Сократим степени одинаковых оснований: $\frac{12m^4}{k^3}\cdot\frac{k^6}{9m^2}=\frac{4m^2k^3}{3}$. Ограничения исходного выражения: $k\ne0,\ m\ne0$.

1б) Разложим разность квадратов и заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{3x^2}{16-y^2}:\frac{15x^5}{4+y}=\frac{3x^2}{(4-y)(4+y)}\cdot\frac{4+y}{15x^5}=\frac{4+y}{5x^3(4-y)}$.
Ограничения: $x\ne0,\ y\ne-4,\ y\ne4$.

1в) Разложим многочлены на множители и сократим общие множители:
$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{5(x+2)}{x+1}=\frac{5(x-1)}{x-2}$.
Ограничения: $x\ne-2,\ 2,\ -1$.

2. Сначала упростим выражение в скобках:
$\frac{2x}{x-2}-\frac{1}{x+2}=\frac{2x(x+2)-(x-2)}{x^2-4}=\frac{2x^2+3x+2}{x^2-4}$.
Тогда
$\frac{2x^2+3x+2}{x^2-4}:\frac{6x^2+9x+6}{x^2-4}=\frac{2x^2+3x+2}{3(2x^2+3x+2)}=\frac13$.
Ограничение: $x\ne-2,\ 2$. Делитель не равен нулю при действительных $x$, поскольку у $2x^2+3x+2$ дискриминант отрицателен.

3. В записанном условии это не тождество. Например, при $k=2,\ m=1$ левая часть равна $2+\frac{5}{3}:\frac14=\frac{26}{3}$, а правая — $2$. Следовательно, доказать равенство нельзя: вероятно, в условии есть опечатка. Также исходное выражение определено лишь при $m\ne0,\ k\ne0,\ k\ne m,\ k\ne -m$.

4. По условию $\frac{x+1}{x-3}=\frac7x+1$, где $x\ne0,3$. Вычтем единицу:
$\frac{x+1}{x-3}-1=\frac7x$,
$\frac4{x-3}=\frac7x$,
$4x=7(x-3)$,
$4x=7x-21$, откуда $x=7$. Это значение допустимо.

Ответ: 1а) $\frac{4m^2k^3}{3}$; 1б) $\frac{y+4}{5x^3(4-y)}$; 1в) $\frac{5(x-1)}{x-2}$; 2) $\frac13$; 3) равенство в условии неверно; 4) $x=7$.