Вариант 2. 1. Запишите теорему косинусов. 2. Выберите верные утверждения. Исправьте неверные утверждения: 1) Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. 2) Стороны произвольного треугольника прямо пропорциональны косинусам противолежащих углов. 3. Решите треугольник ABC, если: 1) ∠A = 65°, ∠C = 60°, AB = 15; 2) ∠B = 80°, AB = 15, BC = 19. 4. В треугольнике ABC известно, что AB = 8, BC = 10, AC = 12. Найдите cos∠ABC.

1. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Например, \(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A\).

2.

1. Верно: синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Неверно. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: \(\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\).

3.1. \(B=180°-65°-60°=55°\). Сторона \(AB=15\) лежит напротив угла \(C=60°\). По теореме синусов:

\(BC=\dfrac{15\sin65°}{\sin60°}\approx15.69\), \(AC=\dfrac{15\sin55°}{\sin60°}\approx14.19\).

3.2. Даны стороны \(AB=15\), \(BC=19\) и заключённый между ними угол \(B=80°\). По теореме косинусов:

\(AC^2=15^2+19^2-2\cdot15\cdot19\cos80°=586-570\cos80°\), следовательно, \(AC\approx22.07\).

По теореме синусов \(\sin A=\dfrac{19\sin80°}{AC}\), откуда \(A\approx58.0°\). Тогда \(C=180°-80°-A\approx42.0°\).

4. По теореме косинусов для угла \(B\):

\(\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{8^2+10^2-12^2}{2\cdot8\cdot10}=\dfrac{9}{16}\).

Ответ: 3.1) \(B=55°\), \(BC\approx15.69\), \(AC\approx14.19\); 3.2) \(AC\approx22.07\), \(A\approx58.0°\), \(C\approx42.0°\); 4) \(\cos\angle ABC=\frac9{16}\).