Вариант 2. 2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Пусть \(v\) км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость против течения равна \(v-3\), а по течению — \(v+3\). Скорость на озере равна \(v\).

Составим равенство времён: время пути против течения и по течению равно времени прохождения 18 км по озеру:

\(\frac{12}{v-3}+\frac{5}{v+3}=\frac{18}{v}\), где \(v>3\).

Умножим на \(v(v-3)(v+3)\): \(12v(v+3)+5v(v-3)=18(v^2-9)\).

После упрощения: \(17v^2+21v=18v^2-162\), откуда \(v^2-21v-162=0\).

Разложим на множители: \((v-27)(v+6)=0\). Получаем \(v=27\) или \(v=-6\). Отрицательная скорость не подходит, а \(27>3\).

Ответ: собственная скорость катера — 27 км/ч.