Вариант 2. 2. Решить иррациональные уравнения: а) \(\sqrt{x+4}=6\); б) \(\sqrt{3-x}=1-x\); в) \(\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2\).

а) Возводим обе части в квадрат: \(x+4=36\), откуда \(x=32\). Проверка: \(\sqrt{32+4}=6\).

б) Для равенства необходимо \(1-x\geq0\), то есть \(x\leq1\). Возводим в квадрат: \(3-x=(1-x)^2\), поэтому \(x^2-x-2=0\), откуда \(x=2\) или \(x=-1\). Условию \(x\leq1\) удовлетворяет только \(-1\). Проверка: \(\sqrt{3-(-1)}=2=1-(-1)\).

в) Правая часть должна быть неотрицательной: \(1-x^2\geq0\), следовательно, \(-1\leq x\leq1\). Возводим в квадрат: \(x^4-3x-1=(1-x^2)^2\), откуда \(2x^2-3x-2=0\). Корни: \(x=2\) и \(x=-\frac12\). Ограничению удовлетворяет только \(-\frac12\). Проверка: подкоренное выражение равно \(\frac94\), а правая часть равна \(\frac34\), значит обе части равны \(\frac32\) и \(\frac34\)?

При подстановке обнаруживается, что равенства нет: \(\sqrt{\frac94}=\frac32\), тогда как \(1-(-\frac12)^2=\frac34\). Следовательно, после возведения в квадрат получен посторонний корень; решений нет.

Ответ: а) \(32\); б) \(-1\); в) решений нет.