Вариант 2: А1. Отрезки АВ и СМ пересекаются в точке О так, что АС || ВМ. Найдите длину отрезка СМ, если АС=15 см, ВМ=3 см, СО=10 см. А2. В треугольнике АВС точка К принадлежит стороне АВ, а точка Р стороне АС. Отрезок КР || ВС. Найдите периметр треугольника АКР, если АВ=16 см, ВС=8 см, АС=15 см и АК=4 см. А3. В треугольнике АВС угол С=90°. АС=4 см. АВ=5 см. Найдите sin A, cos A, Ig A, sin B, cos B, IgB. В1. На рисунке показано, как можно определить ширину реки АВ, построив на местности подобные треугольники. Обоснуйте: какие построения выполнены; чем мы пользуемся для определения ширины реки? Выполните необходимые измерения и определите ширину реки (масштаб рисунка 1:1000).

Пошаговое решение:

1. А1. Треугольники АОС и ВОМ подобны по двум углам (вертикальные углы при О и накрест лежащие при параллельных АС и ВМ и секущих АВ и СМ). Из подобия следует отношение сторон: AO/BO = CO/OM = AC/BM. Подставляем известные значения: 15/3 = 10/OM. Находим OM: 5 = 10/OM, OM = 10/5 = 2 см. СМ = СО + ОМ = 10 + 2 = 12 см.
2. А2. Треугольник АКР подобен треугольнику АВС, так как КР || ВС. Коэффициент подобия k = АК/АВ. По условию АК = 4 см, АВ = 16 см. k = 4/16 = 1/4. Периметр треугольника АВС = АВ + ВС + АС = 16 + 8 + 15 = 39 см. Периметр треугольника АКР = k * Периметр треугольника АВС = (1/4) * 39 = 9.75 см.
3. А3. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90°):
   По теореме Пифагора найдем катет ВС: AB^2 = AC^2 + BC^2 => 5^2 = 4^2 + BC^2 => 25 = 16 + BC^2 => BC^2 = 9 => BC = 3 см.
   sin A = BC/AB = 3/5
   cos A = AC/AB = 4/5
   tg A = BC/AC = 3/4
   sin B = AC/AB = 4/5
   cos B = BC/AB = 3/5
   tg B = AC/BC = 4/3
4. В1. На рисунке изображен метод определения ширины реки с помощью подобных треугольников. Построение выполнено следующим образом:
   1. На одном берегу реки выбрана точка А (желаемая ширина реки – отрезок АВ).
   2. На противоположном берегу выбрана точка В.
   3. На том же берегу, что и точка А, от точки А отложена прямая AD под некоторым углом к реке.
   4. На прямой AD выбрана точка С так, чтобы точки С, В и точка пересечения прямой АВ и прямой CD (обозначим ее как E) лежали на одной прямой.
   Построения, выполненные на местности, основаны на создании двух подобных треугольников: △ABE и △CDE (или других аналогичных построений).
   Для определения ширины реки используется свойство подобных треугольников: отношение соответствующих сторон равно.
   В данном случае, если построены треугольники △ABE и △CDE, то KE || AB.
   ∠ABE = ∠CDE (накрест лежащие углы при параллельных KE и AB и секущей BD).
   ∠BAE = ∠DCE (накрест лежащие углы при параллельных KE и AB и секущей AC).
   ∠AEB = ∠CED (вертикальные углы).
   Следовательно, △ABE ~ △CDE.
   Из подобия следует: AB/CD = AE/CE = BE/DE.
   Зная длины CD, AE, CE (или BE, DE) и измерив их на местности, можно найти ширину реки AB: AB = CD * (AE/CE).
   Измерения и определение ширины реки:
   Предположим, что на рисунке масштаба 1:1000:
   CD = 2 см
   CE = 3 см
   AE = 4 см
   Тогда, AB (на рисунке) = CD * (AE/CE) = 2 см * (4 см / 3 см) = 8/3 см ≈ 2.67 см.
   Реальная ширина реки AB = 2.67 см * 1000 = 2670 см = 26.7 м.

Ответ:

• А1: 12 см
• А2: 9.75 см
• А3: sin A = 3/5, cos A = 4/5, tg A = 3/4, sin B = 4/5, cos B = 3/5, tg B = 4/3
• В1: Ширина реки определяется с помощью подобных треугольников, используя отношение их соответствующих сторон. Приведен пример измерений на плане: ширина реки ≈ 26.7 м.