Вариант 2. А4. В прямоугольной трапеции ABCD ∠BAD — прямой, ∠BAC = 45°, ∠BCD = 135°, AD = 30 см. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

В прямоугольной трапеции основания параллельны: \(AD\parallel BC\). Опустим из C перпендикуляр к AD; пусть его основание — E.

Так как \(\angle BAD=90^\circ\), AB — высота трапеции. Из \(\angle BAC=45^\circ\) следует, что прямоугольный треугольник ABC равнобедренный, поэтому \(AB=BC\).

В прямоугольном треугольнике CDE угол при C равен \(180^\circ-135^\circ=45^\circ\). Следовательно, \(CE=DE\). Но \(CE=AB\), а \(DE=AD-BC=30-BC\). Значит, \(AB=30-BC\). Вместе с \(AB=BC\) это даёт \(AB=BC=15\) см.

Боковые стороны — AB и CD. Поскольку CD — наклонная сторона прямоугольного треугольника CDE, она больше катета CE = 15 см. Поэтому меньшая боковая сторона — AB.

Ответ: 15 см.