Вариант 2. Алгебра 1. Упростите выражение: (y-4)(y+2)-(y-2)². 2. Решите систему уравнений: { x+8y=-6; 5x-2y=12. 3. а) Постройте график функции y=-2x-2. б) Определите, проходит ли график функции через точку А(10; -20). 4. Разложите на множители: a) 2x²y +4xy²; б) 100a - a². 5. Три бригады рабочих изготовили за смену 100 деталей. Вторая бригада изготовила на 5 деталей больше, чем первая бригада, и на 15 деталей больше, чем третья. Сколько деталей изготовила каждая бригада? Геометрия 6. Сумма вертикальных углов МОЕ и DOC, образованных при пересечении прямых MC и DE, равна 204°. Найдите угол MOD. 7. Докажите равенство треугольников DFC и DKC, используя данные рисунка.

Вариант 2

Алгебра

1. 1. Упростите выражение:

   \( (y-4)(y+2) - (y-2)^2 \)
   Раскроем первую скобку:
   \( y^2 + 2y - 4y - 8 \)
   \( y^2 - 2y - 8 \)
   Раскроем вторую скобку (квадрат разности):
   \( (y-2)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = y^2 - 4y + 4 \)
   Теперь вычтем второе выражение из первого:
   \( (y^2 - 2y - 8) - (y^2 - 4y + 4) \)
   \( y^2 - 2y - 8 - y^2 + 4y - 4 \)
   Приведём подобные слагаемые:
   \( (y^2 - y^2) + (-2y + 4y) + (-8 - 4) \)
   \( 2y - 12 \)

   Ответ: $$2y - 12$$.

2. 2. Решите систему уравнений:

   $$ \begin{cases} x + 8y = -6 \\ 5x - 2y = 12 \end{cases} $$

   Умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:

   \( 5x - 2y = 12 \quad | \cdot 4 \)

   \( 20x - 8y = 48 \)

   Теперь сложим первое уравнение с измененным вторым:

   \( (x + 8y) + (20x - 8y) = -6 + 48 \)
   \( x + 20x + 8y - 8y = 42 \)
   \( 21x = 42 \)
   \( x = \frac{42}{21} = 2 \)

   Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение:

   \( 2 + 8y = -6 \)
   \( 8y = -6 - 2 \)
   \( 8y = -8 \)
   \( y = -1 \)

   Проверка:

   \( 2 + 8(-1) = 2 - 8 = -6 \) (Верно)

   \( 5(2) - 2(-1) = 10 + 2 = 12 \) (Верно)

   Ответ: $$x = 2, y = -1$$.

3. 3. а) Постройте график функции y=-2x-2.

   Для построения графика найдем несколько точек:

   • Если \( x = 0 \), то \( y = -2(0) - 2 = -2 \). Точка (0; -2).
   • Если \( x = 1 \), то \( y = -2(1) - 2 = -4 \). Точка (1; -4).
   • Если \( x = -1 \), то \( y = -2(-1) - 2 = 2 - 2 = 0 \). Точка (-1; 0).

4. б) Определите, проходит ли график функции через точку А(10; -20).

   Подставим координаты точки \( A(10; -20) \) в уравнение \( y = -2x - 2 \).

   \( -20 = -2(10) - 2 \)
   \( -20 = -20 - 2 \)
   \( -20 = -22 \)

   Равенство не выполняется, значит, точка А(10; -20) не лежит на графике функции.

   Ответ: Нет, график не проходит через точку А(10; -20).

5. 4. Разложите на множители:

   а) $$2x^2y + 4xy^2$$

   Вынесем общий множитель \( 2xy \):

   \( 2xy(x + 2y) \)

   б) $$100a - a^2$$

   Вынесем общий множитель \( a \):

   \( a(100 - a) \)

   Ответ: а) $$2xy(x + 2y)$$; б) $$a(100 - a)$$.

6. 5. Сколько деталей изготовила каждая бригада?

   Пусть \( x \) — количество деталей, изготовленных первой бригадой.

   Вторая бригада изготовила на 5 деталей больше, чем первая: \( x + 5 \) деталей.

   Вторая бригада изготовила на 15 деталей больше, чем третья, значит, третья бригада изготовила на 15 деталей меньше, чем вторая: \( (x + 5) - 15 = x - 10 \) деталей.

   Всего изготовили 100 деталей:

   \( x + (x + 5) + (x - 10) = 100 \)
   \( 3x - 5 = 100 \)
   \( 3x = 105 \)
   \( x = \frac{105}{3} = 35 \) деталей (первая бригада).

   Вторая бригада: \( x + 5 = 35 + 5 = 40 \) деталей.

   Третья бригада: \( x - 10 = 35 - 10 = 25 \) деталей.

   Проверка:

   \( 35 + 40 + 25 = 100 \) (Верно)

   Ответ: Первая бригада — 35 деталей, вторая — 40 деталей, третья — 25 деталей.

   Геометрия

7. 6. Найдите угол MOD.

   Вертикальные углы \(
   angle MOE \) и \(
   angle DOC \) равны. Их сумма равна \( 204^\circ \).

   \(
   angle MOE +
   angle DOC = 204^\circ \)

   Так как \(
   angle MOE =
   angle DOC \), то \( 2
   angle MOE = 204^\circ \).

   \(
   angle MOE = \frac{204^\circ}{2} = 102^\circ \).

   Углы \(
   angle MOD \) и \(
   angle MOE \) — смежные, их сумма равна \( 180^\circ \).

   \(
   angle MOD +
   angle MOE = 180^\circ \)
   \(
   angle MOD + 102^\circ = 180^\circ \)
   \(
   angle MOD = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \)

   Ответ: $$78^\circ$$.

8. 7. Докажите равенство треугольников DFC и DKC.

   Для доказательства равенства треугольников \( \triangle DFC \) и \( \triangle DKC \) нам нужны дополнительные данные или условия, которые не представлены на рисунке. На основе только рисунка без дополнительных обозначений (углов, длин сторон) или условий, доказать равенство треугольников невозможно.