Вариант 2. Базовый уровень. Решить уравнения: 1) x² − 6x + 5 = 0; 2) x² + 5x + 6 = 0; 3) 7x² + 8x + 1 = 0. Средний уровень. Решить уравнения: 1) 7x² − 4 = 0; 2) x² − x = 0; 3) 3x² + 3 = 10x. Сложный уровень. Решить уравнения: 1) x⁴ − 12x² − 64 = 0; 2) (x² − x)/(x² − 9) = (7x − 15)/(x² − 9). Сократить дробь: (x² − 5x − 6)/(x² − 8x + 12).

Question

Вопрос:

Фото задания

Вариант 2. Базовый уровень. Решить уравнения: 1) x² − 6x + 5 = 0; 2) x² + 5x + 6 = 0; 3) 7x² + 8x + 1 = 0. Средний уровень. Решить уравнения: 1) 7x² − 4 = 0; 2) x² − x = 0; 3) 3x² + 3 = 10x. Сложный уровень. Решить уравнения: 1) x⁴ − 12x² − 64 = 0; 2) (x² − x)/(x² − 9) = (7x − 15)/(x² − 9). Сократить дробь: (x² − 5x − 6)/(x² − 8x + 12).

Accepted Answer

Базовый уровень

\(x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0\), поэтому \(x=1\) или \(x=5\).
\(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)=0\), поэтому \(x=-2\) или \(x=-3\).
\(D=8^2-4\cdot7\cdot1=36\), поэтому \(x=\frac{-8\pm6}{14}\). Корни: \(x=-1\) и \(x=-\frac17\).

Средний уровень

\(7x^2=4\), значит \(x=\pm\frac{2}{\sqrt7}=\pm\frac{2\sqrt7}{7}\).
\(x^2-x=x(x-1)=0\), значит \(x=0\) или \(x=1\).
Перенесём всё в левую часть: \(3x^2-10x+3=0\). Разложим: \((3x-1)(x-3)=0\), поэтому \(x=\frac13\) или \(x=3\).

Сложный уровень

Положим \(y=x^2\). Получаем \(y^2-12y-64=0=(y-16)(y+4)\). Значение \(y=-4\) невозможно, поскольку \(x^2\ge0\); из \(x^2=16\) получаем \(x=\pm4\).
Ограничения: \(x\ne-3,3\). Знаменатели одинаковы и не равны нулю, поэтому приравниваем числители: \(x^2-x=7x-15\). Тогда \((x-3)(x-5)=0\). Значение \(x=3\) исключается по ОДЗ, поэтому \(x=5\).

Разложим на множители: \(\frac{x^2-5x-6}{x^2-8x+12}=\frac{(x-6)(x+1)}{(x-6)(x-2)}\). Сокращаем общий множитель; ограничения исходной дроби: \(x\ne2,6\).

Ответ: базовый уровень — 1) 1; 5; 2) −3; −2; 3) −1; −1/7. Средний уровень — 1) ±2√7/7; 2) 0; 1; 3) 1/3; 3. Сложный уровень — 1) −4; 4; 2) 5. Сокращённая дробь: (x+1)/(x−2), x ≠ 2, 6.