Вариант 2. Дан треугольник ABC, M ∈ AB, K ∈ BC, BM:MA = 3:4. Через прямую MK проходит плоскость α, параллельная прямой AC. а) Докажите, что BC:BK = 7:3. б) Найдите длину отрезка MK, если AC = 14 см.

а) Так как \(BM:MA=3:4\), то \(BA=BM+MA\), поэтому \(BM:BA=3:(3+4)=3:7\).

Плоскость \(\alpha\) проходит через MK и параллельна AC, следовательно, \(MK\parallel AC\). По теореме Фалеса треугольники BMK и BAC подобны, поэтому \(\frac{BK}{BC}=\frac{BM}{BA}=\frac{3}{7}\). Значит, \(BC:BK=7:3\).

б) Из подобия также \(\frac{MK}{AC}=\frac{BM}{BA}=\frac{3}{7}\). Тогда \(MK=14\cdot\frac{3}{7}=6\) см.

Ответ: а) \(BC:BK=7:3\); б) 6 см.