Вариант 2. Дано: ABCD — прямоугольник. а) ∠AOD, ∠OCB, ∠ACD — найти, если ∠COD = 41°. б) AB = 4, AC = 10. Найти периметр ABCD. в) AB = 5, AE — биссектриса угла A, E ∈ BC. Найти ∠AEC и BE.

а) Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам, поэтому их половины равны. В треугольнике OCB получаем OB = OC.

1. ∠AOD и ∠COD — смежные углы, поэтому ∠AOD = 180° − 41° = 139°.
2. ∠BOC = 139° как смежный с ∠COD. Треугольник OCB равнобедренный, значит ∠OCB = (180° − 139°) : 2 = 20,5°.
3. Угол BCD прямой, поэтому ∠ACD = 90° − ∠OCB = 69,5°.

б) По теореме Пифагора найдём BC: BC = √(AC² − AB²) = √(10² − 4²) = √84 = 2√21. Тогда P_ABCD = 2(AB + BC) = 2(4 + 2√21) = 8 + 4√21.

в) Так как ABCD — прямоугольник, ∠A = 90°. Биссектриса AE делит его пополам: ∠BAE = ∠EAD = 45°. Поскольку EC ∥ AD, ∠AEC = 180° − ∠EAD = 135°. В прямоугольном треугольнике ABE углы при A и E равны 45°, поэтому AB = BE и BE = 5.