Вариант 2. Докажите, что верно равенство: а) \(\frac{4m+7}{3m-1}-\frac{5}{2m-1}:\frac{3m-1}{4m^2-1}=-2\).

Область допустимых значений: \(m\ne\frac13\), \(m\ne\frac12\), \(m\ne-\frac12\). Эти ограничения нужны, чтобы знаменатели были ненулевыми и делитель не обращался в ноль.

Выполним деление дробей умножением на обратную дробь:

\(\frac{5}{2m-1}:\frac{3m-1}{4m^2-1}=\frac{5}{2m-1}\cdot\frac{4m^2-1}{3m-1}\).

Разложим разность квадратов и сократим общий множитель:

\(\frac{5}{2m-1}\cdot\frac{(2m-1)(2m+1)}{3m-1}=\frac{5(2m+1)}{3m-1}\).

Подставим результат в исходное выражение и приведём дроби к общему знаменателю:

\(\frac{4m+7}{3m-1}-\frac{5(2m+1)}{3m-1}=\frac{4m+7-10m-5}{3m-1}=\frac{-6m+2}{3m-1}\).

Так как \(-6m+2=-2(3m-1)\), получаем \(\frac{-6m+2}{3m-1}=-2\) для всех допустимых \(m\).

Ответ: равенство доказано при \(m\notin\left\{-\frac12,\frac13,\frac12\right\}\).