Вариант 2. Фигура состоит из трёх различных квадратов со сторонами а, b, a + b сантиметров, причем а, b — целые положительные числа и а < b. Известно, что периметр фигуры, изображенной на рисунке, составляет 68 сантиметров. Чему может быть равна сумма а и b? Ответ выразите в сантиметрах. Укажите все возможные варианты.

Question

Вариант 2. Фигура состоит из трёх различных квадратов со сторонами а, b, a + b сантиметров, причем а, b — целые положительные числа и а < b. Известно, что периметр фигуры, изображенной на рисунке, составляет 68 сантиметров. Чему может быть равна сумма а и b? Ответ выразите в сантиметрах. Укажите все возможные варианты.

Фото задания: Вариант 2. Фигура состоит из трёх различных квадратов со сторонами а, b, a + b сантиметров, причем а, b — целые положительные…

Accepted Answer

Решение:

Фигура состоит из трёх квадратов со сторонами \( a \), \( b \), и \( a + b \). Из условия известно, что \( a \) и \( b \) — целые положительные числа и \( a < b \).

Периметр фигуры, изображенной на рисунке, составляет 68 сантиметров.

Рассмотрим три возможных случая расположения квадратов, которые дают различную конфигурацию фигуры и, следовательно, разный периметр:

Случай 1: Квадрат со стороной \( a + b \) расположен слева, а квадраты со сторонами \( a \) и \( b \) — справа, примыкая к нему.
В этом случае квадрат со стороной \( a + b \) имеет три стороны, входящие в периметр (верхнюю, левую и нижнюю). К нему примыкает квадрат со стороной \( b \), у которого две стороны входят в периметр (верхняя и правая, т.к. часть нижней стороны примыкает к квадрату \( a+b \)), и квадрат со стороной \( a \), у которого также две стороны входят в периметр (верхняя и правая, т.к. часть нижней стороны примыкает к квадрату \( a+b \)).
Периметр = \( (a+b) + (a+b) + (a+b) \) (три стороны большого квадрата) + \( b + b \) (две стороны квадрата \( b \)) + \( a + a \) (две стороны квадрата \( a \)).
Периметр = \( 3(a+b) + 2b + 2a = 3a + 3b + 2b + 2a = 5a + 5b \).
По условию, \( 5a + 5b = 68 \). \( 5(a+b) = 68 \). \( a+b = \frac{68}{5} = 13.6 \). Так как \( a \) и \( b \) — целые числа, \( a+b \) должно быть целым. Этот случай невозможен.
Случай 2: Квадрат со стороной \( a + b \) расположен сверху, а квадраты со сторонами \( a \) и \( b \) — снизу, примыкая к нему.
В этом случае квадрат со стороной \( a + b \) имеет три стороны, входящие в периметр (левую, верхнюю и правую). К нему примыкает квадрат со стороной \( b \), у которого две стороны входят в периметр (левая и нижняя, т.к. часть правой стороны примыкает к квадрату \( a+b \)), и квадрат со стороной \( a \), у которого также две стороны входят в периметр (правая и нижняя, т.к. часть левой стороны примыкает к квадрату \( a+b \)).
Периметр = \( (a+b) + (a+b) + (a+b) \) (три стороны большого квадрата) + \( b + b \) (две стороны квадрата \( b \)) + \( a + a \) (две стороны квадрата \( a \)).
Периметр = \( 3(a+b) + 2b + 2a = 5a + 5b \).
Этот случай также приводит к \( a+b = 13.6 \), что невозможно для целых \( a \) и \( b \).
Случай 3: Квадрат со стороной \( a + b \) расположен в центре, а квадраты со сторонами \( a \) и \( b \) примыкают к разным сторонам. (Как на рисунке).
На рисунке большой квадрат со стороной \( a+b \) имеет две стороны, входящие в периметр (верхнюю и левую). К нему справа примыкает квадрат со стороной \( b \). В этом случае, сторона \( b \) большого квадрата, к которой примыкает квадрат \( b \), не входит в периметр. А квадрат \( b \) имеет три стороны, входящие в периметр (верхнюю, правую и нижнюю). Квадрат \( a \) примыкает к части квадрата \( b \) и к части квадрата \( a+b \).
Давайте разберем по сторонам, как на рисунке:
Сторона большого квадрата \( (a+b) \) слева: \( a+b \)
Верхняя сторона большого квадрата \( (a+b) \): \( a+b \)
Верхняя сторона квадрата \( b \): \( b \)
Правая сторона квадрата \( b \): \( b \)
Нижняя сторона квадрата \( b \) (часть, которая не примыкает к \( a \)): \( b-a \)
Нижняя сторона квадрата \( a \): \( a \)
Левая сторона квадрата \( a \) (часть, которая не примыкает к \( a+b \)): \( a-b \) - это неверно, так как \( aПересмотрим рисунок:
У большого квадрата со стороной \( a+b \) в периметр входят левая сторона \( a+b \) и верхняя сторона \( a+b \).
К нему справа примыкает квадрат со стороной \( b \). Это значит, что часть правой стороны большого квадрата (длиной \( b \)) не входит в периметр. Оставшаяся часть правой стороны большого квадрата (длиной \( a \)) входит в периметр.
У квадрата со стороной \( b \), который примыкает справа к большому квадрату, в периметр входят: верхняя сторона \( b \), правая сторона \( b \) и нижняя сторона \( b \).
Таким образом, периметр = \( (a+b) \) (левая сторона большого) + \( (a+b) \) (верхняя сторона большого) + \( a \) (правая сторона большого, остаток) + \( b \) (верхняя сторона квадрата \( b \)) + \( b \) (правая сторона квадрата \( b \)) + \( b \) (нижняя сторона квадрата \( b \)).
Периметр = \( a+b+a+b+a+b+b+b = 3a + 5b \).
Дано: \( 3a + 5b = 68 \), где \( a \) и \( b \) — целые положительные числа, \( a < b \).
Найдем возможные пары \( (a, b) \):
Если \( b = 1 \), \( 3a + 5 = 68 \) \( 3a = 63 \) \( a = 21 \). Но \( a < b \) не выполняется (21 < 1 — ложь).
Если \( b = 2 \), \( 3a + 10 = 68 \) \( 3a = 58 \) \( a = 58/3 \) (не целое).
Если \( b = 3 \), \( 3a + 15 = 68 \) \( 3a = 53 \) \( a = 53/3 \) (не целое).
Если \( b = 4 \), \( 3a + 20 = 68 \) \( 3a = 48 \) \( a = 16 \). Но \( a < b \) не выполняется (16 < 4 — ложь).
Если \( b = 5 \), \( 3a + 25 = 68 \) \( 3a = 43 \) \( a = 43/3 \) (не целое).
Если \( b = 6 \), \( 3a + 30 = 68 \) \( 3a = 38 \) \( a = 38/3 \) (не целое).
Если \( b = 7 \), \( 3a + 35 = 68 \) \( 3a = 33 \) \( a = 11 \). Но \( a < b \) не выполняется (11 < 7 — ложь).
Если \( b = 8 \), \( 3a + 40 = 68 \) \( 3a = 28 \) \( a = 28/3 \) (не целое).
Если \( b = 9 \), \( 3a + 45 = 68 \) \( 3a = 23 \) \( a = 23/3 \) (не целое).
Если \( b = 10 \), \( 3a + 50 = 68 \) \( 3a = 18 \) \( a = 6 \). Условие \( a < b \) выполняется (6 < 10). Сумма \( a+b = 6+10=16 \).
Если \( b = 11 \), \( 3a + 55 = 68 \) \( 3a = 13 \) \( a = 13/3 \) (не целое).
Если \( b = 12 \), \( 3a + 60 = 68 \) \( 3a = 8 \) \( a = 8/3 \) (не целое).
Если \( b = 13 \), \( 3a + 65 = 68 \) \( 3a = 3 \) \( a = 1 \). Условие \( a < b \) выполняется (1 < 13). Сумма \( a+b = 1+13=14 \).
Если \( b = 14 \), \( 3a + 70 = 68 \) \( 3a = -2 \) (невозможно, так как \( a \) должно быть положительным).
Возможные пары \( (a, b) \): \( (6, 10) \) и \( (1, 13) \).
Возможные значения суммы \( a+b \): \( 6+10 = 16 \) и \( 1+13 = 14 \).
Проверим расположение квадратов на рисунке.
На рисунке изображен большой квадрат (предположительно \( a+b \)), к правой стороне которого примыкает квадрат \( b \). Нижняя сторона большого квадрата и часть верхней стороны квадрата \( b \) входят в периметр.
Периметр = \( (a+b) \) (левая сторона большого) + \( (a+b) \) (верхняя сторона большого) + \( a \) (правая сторона большого, остаток) + \( b \) (верхняя сторона квадрата \( b \)) + \( b \) (правая сторона квадрата \( b \)) + \( b \) (нижняя сторона квадрата \( b \)).
Эта конфигурация соответствует формуле \( 3a + 5b \) если \( a+b \) - сторона большого квадрата, \( b \) - сторона квадрата справа. Но рисунок показывает, что к большому квадрату справа примыкает квадрат \( b \). И часть правой стороны большого квадрата, равная \( b \), не входит в периметр, а только \( a \) (оставшаяся часть).
Давайте переопределим стороны на рисунке:
Большой квадрат имеет сторону \( S_1 \). К нему справа примыкает квадрат со стороной \( S_2 \). К квадрату \( S_2 \) снизу примыкает квадрат со стороной \( S_3 \).
По условию, стороны квадратов: \( a \), \( b \), \( a+b \). И \( a < b \).
Рассмотрим рисунок: есть большой квадрат, справа от него квадрат поменьше, и под этим меньшим квадратом еще один квадрат.
Это означает, что \( S_1 = a+b \), \( S_2 = b \) и \( S_3 = a \).
Периметр состоит из:
Левая сторона \( a+b \): \( a+b \)
Верхняя сторона \( a+b \): \( a+b \)
Правая сторона \( a+b \), из которой часть (длиной \( b \)) занята квадратом \( b \). Остается \( a \).
Верхняя сторона квадрата \( b \): \( b \)
Правая сторона квадрата \( b \): \( b \)
Нижняя сторона квадрата \( b \), из которой часть (длиной \( a \)) занята квадратом \( a \). Остается \( b-a \).
Левая сторона квадрата \( a \) (оставшаяся часть, примыкающая к \( a+b \)): \( a \).
Нижняя сторона квадрата \( a \): \( a \).
Периметр = \( (a+b) + (a+b) + a + b + b + (b-a) + a + a \)
Периметр = \( a+b+a+b+a+b+b+b-a+a+a \) = \( 4a + 5b \).
Дано: \( 4a + 5b = 68 \), где \( a < b \) и \( a, b \) — целые положительные.
Если \( b = 1 \), \( 4a + 5 = 68 \) \( 4a = 63 \) (не целое).
Если \( b = 2 \), \( 4a + 10 = 68 \) \( 4a = 58 \) (не целое).
Если \( b = 3 \), \( 4a + 15 = 68 \) \( 4a = 53 \) (не целое).
Если \( b = 4 \), \( 4a + 20 = 68 \) \( 4a = 48 \) \( a = 12 \). Но \( a < b \) не выполняется (12 < 4 — ложь).
Если \( b = 5 \), \( 4a + 25 = 68 \) \( 4a = 43 \) (не целое).
Если \( b = 6 \), \( 4a + 30 = 68 \) \( 4a = 38 \) (не целое).
Если \( b = 7 \), \( 4a + 35 = 68 \) \( 4a = 33 \) (не целое).
Если \( b = 8 \), \( 4a + 40 = 68 \) \( 4a = 28 \) \( a = 7 \). Условие \( a < b \) выполняется (7 < 8). Сумма \( a+b = 7+8 = 15 \).
Если \( b = 9 \), \( 4a + 45 = 68 \) \( 4a = 23 \) (не целое).
Если \( b = 10 \), \( 4a + 50 = 68 \) \( 4a = 18 \) (не целое).
Если \( b = 11 \), \( 4a + 55 = 68 \) \( 4a = 13 \) (не целое).
Если \( b = 12 \), \( 4a + 60 = 68 \) \( 4a = 8 \) \( a = 2 \). Условие \( a < b \) выполняется (2 < 12). Сумма \( a+b = 2+12 = 14 \).
Если \( b = 13 \), \( 4a + 65 = 68 \) \( 4a = 3 \) (не целое).
Если \( b = 14 \), \( 4a + 70 = 68 \) \( 4a = -2 \) (невозможно).
Возможные пары \( (a, b) \): \( (7, 8) \) и \( (2, 12) \).
Возможные значения суммы \( a+b \): \( 7+8 = 15 \) и \( 2+12 = 14 \).
Проверим еще раз формулу периметра для рисунка.
Сторона большого квадрата = \( L \).
Примыкающий справа квадрат = \( M \).
Примыкающий снизу к \( M \) квадрат = \( S \).
Из рисунка видно:
\( L = a+b \)
\( M = b \)
\( S = a \)
Верно также, что \( L = M + S \) (если они вытянуты в линию). Но здесь \( L = a+b \), \( M=b \), \( S=a \).
Периметр: \( L \) (левая) + \( L \) (верхняя) + \( L-M \) (правая остаток) + \( M \) (верхняя) + \( M \) (правая) + \( M-S \) (нижняя остаток) + \( S \) (левая) + \( S \) (нижняя).
Периметр = \( (a+b) + (a+b) + (a+b-b) + b + b + (b-a) + a + a \)
Периметр = \( a+b+a+b+a+b+b+b+b-a+a+a \)
Периметр = \( 4a + 5b \).
Это соответствует предыдущему расчету.
Итак, возможные значения суммы \( a+b \) — 14 и 15.

Ответ: 14, 15.