Вариант 2. Первая часть экзаменационной работы. 1. Решить уравнение: а) 4^x = 2^11; б) Найдите корень уравнения \(\sqrt{15-2x} = 3\). 2. Решить неравенство: \(\log_{0,3}(2x+5) \ge \log_{0,3}(x+1)\). 3. Найдите \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = 0, 6\) и \(\pi < \alpha < 2\pi\). 4. Точка движется по закону \(S(t) = t^3 - t^2 + 2t - 1\). Найти скорость и ускорение в момент времени \(t = 2\). 5. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. 6. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции \(y = x^2 - 3x + 2\) в точке \(x_0 = 3\). 7. Вычислить: 1) \(\frac{4^4 \cdot 2^3}{8^2}\) 2) \(81^{1/2} \cdot 125^{1/3}\) 3) \(\log_{0,5} 8 + \log_{0,5} 125\). 8. Найти интегралы: a) \(\int x^4 dx\) б) \(\int (x^3 + 2x) dx\). Вторая часть экзаменационной работы 1. Образующая конуса равна 18 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти радиус основания и высоту конуса. 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции: \(y = 2x + 3, y = x^2\). Третья часть экзаменационной работы 1. Решите уравнение: \(4^{x} - 2^{x+3} + 15 = 0\). 2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найти высоту пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды. 3. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Question

Вопрос:

Вариант 2. Первая часть экзаменационной работы. 1. Решить уравнение: а) 4^x = 2^11; б) Найдите корень уравнения \(\sqrt{15-2x} = 3\). 2. Решить неравенство: \(\log_{0,3}(2x+5) \ge \log_{0,3}(x+1)\). 3. Найдите \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = 0, 6\) и \(\pi < \alpha < 2\pi\). 4. Точка движется по закону \(S(t) = t^3 - t^2 + 2t - 1\). Найти скорость и ускорение в момент времени \(t = 2\). 5. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. 6. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции \(y = x^2 - 3x + 2\) в точке \(x_0 = 3\). 7. Вычислить: 1) \(\frac{4^4 \cdot 2^3}{8^2}\) 2) \(81^{1/2} \cdot 125^{1/3}\) 3) \(\log_{0,5} 8 + \log_{0,5} 125\). 8. Найти интегралы: a) \(\int x^4 dx\) б) \(\int (x^3 + 2x) dx\). Вторая часть экзаменационной работы 1. Образующая конуса равна 18 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти радиус основания и высоту конуса. 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции: \(y = 2x + 3, y = x^2\). Третья часть экзаменационной работы 1. Решите уравнение: \(4^{x} - 2^{x+3} + 15 = 0\). 2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найти высоту пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды. 3. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Первая часть экзаменационной работы

Решить уравнение:
1. \(4^x = 2^{11}\)
  \(2^{2x} = 2^{11}\)
  \(2x = 11\)
  \(x = \frac{11}{2}\)
2. \(\sqrt{15-2x} = 3\)
  \(15 - 2x = 9\)
  \(-2x = -6\)
  \(x = 3\)
Решить неравенство:
\(\log_{0,3}(2x+5) \ge \log_{0,3}(x+1)\)
Так как основание логарифма \(0,3 < 1\), то при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный:
\(2x+5 \le x+1\)
\(x \le -4\)
Также необходимо учесть область определения логарифмов:
\(2x+5 > 0 \Rightarrow x > -2,5\)
\(x+1 > 0 \Rightarrow x > -1\)
Совмещая все условия, получаем, что \(x \le -4\) и \(x > -1\) не имеют общих решений. В данном случае, скорее всего, была допущена опечатка в основании логарифма. Если основание \(>1\), то:
\(2x+5 \ge x+1\)
\(x \ge -4\)
Область определения: \(x > -1\).
Следовательно, \(x \ge -4\) и \(x > -1\), что дает \(x > -1\).
Найти \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = 0,6\) и \(\pi < \alpha < 2\pi\):
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\)
\(\sin^2 \alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64\)
\(\sin \alpha = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8\)
Так как \(\pi < \alpha < 2\pi\), \(\alpha\) находится в III или IV четверти, где синус отрицателен.
\(\sin \alpha = -0,8\)
Найти скорость и ускорение:
\(S(t) = t^3 - t^2 + 2t - 1\)
Скорость: \(v(t) = S'(t) = 3t^2 - 2t + 2\)
Ускорение: \(a(t) = v'(t) = 6t - 2\)
При \(t = 2\):
\(v(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 2 = 12 - 4 + 2 = 10\)
\(a(2) = 6(2) - 2 = 12 - 2 = 10\)
Вероятность того, что насос не подтекает:
Всего насосов: 1000.
Подтекающих насосов: 5.
Не подтекающих насосов: \(1000 - 5 = 995\).
Вероятность выбрать не подтекающий насос: \(P = \frac{\text{количество не подтекающих насосов}}{\text{всего насосов}} = \frac{995}{1000} = 0,995\)
Угловой коэффициент касательной:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.
\(y' = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3\)
В точке \(x_0 = 3\):
\(y'(3) = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3\)
Вычислить:
1. \(\frac{4^4 \cdot 2^3}{8^2} = \frac{(2^2)^4 \cdot 2^3}{(2^3)^2} = \frac{2^8 \cdot 2^3}{2^6} = \frac{2^{11}}{2^6} = 2^{11-6} = 2^5 = 32\)
2. \(81^{1/2} \cdot 125^{1/3} = \sqrt{81} \cdot \sqrt[3]{125} = 9 \cdot 5 = 45\)
3. \(\log_{0,5} 8 + \log_{0,5} 125 = \log_{0,5} (8 \cdot 125) = \log_{0,5} 1000\)
  Пусть \(y = \log_{0,5} 1000\). Тогда \((0,5)^y = 1000\)
  \((\frac{1}{2})^y = 1000\)
  \(2^{-y} = 1000\)
  \(-y = \log_2 1000\)
  \(y = -\log_2 1000 \approx -9.966\)
Найти интегралы:
1. \(\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C\)
2. \(\int (x^3 + 2x) dx = \int x^3 dx + \int 2x dx = \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^4}{4} + x^2 + C\)

Вторая часть экзаменационной работы

Найти радиус и высоту конуса:
Дано: \(l = 18\) см, \(\alpha = 60^{\circ}\).
\(h = l \sin \alpha = 18 \sin 60^{\circ} = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\) см.
\(r = l \cos \alpha = 18 \cos 60^{\circ} = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9\) см.
Вычислить площадь фигуры:
Найдем точки пересечения графиков \(y = 2x + 3\) и \(y = x^2\):
\(x^2 = 2x + 3\)
\(x^2 - 2x - 3 = 0\)
\((x-3)(x+1) = 0\)
\(x_1 = -1, x_2 = 3\).
Площадь фигуры равна интегралу от разности функций на отрезке [-1, 3]:
\(S = \int_{-1}^{3} ((2x+3) - x^2) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx\)
\(S = [-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x]_{-1}^{3}\)
\(S = (-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3) - (-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1))\)
\(S = (-\frac{27}{3} + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3)\)
\(S = (-9 + 18) - (\frac{1}{3} - 2)\)
\(S = 9 - \frac{1}{3} + 2 = 11 - \frac{1}{3} = \frac{33-1}{3} = \frac{32}{3}\)

Третья часть экзаменационной работы

Решите уравнение:
\(4^{x} - 2^{x+3} + 15 = 0\)
\((2^2)^x - 2^x \cdot 2^3 + 15 = 0\)
\((2^x)^2 - 8 \cdot 2^x + 15 = 0\)
Сделаем замену: \(y = 2^x\).
\(y^2 - 8y + 15 = 0\)
\((y-3)(y-5) = 0\)
\(y_1 = 3, y_2 = 5\).
Следовательно:
\(2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3\)
\(2^x = 5 \Rightarrow x = \log_2 5\)
Найти высоту и площадь боковой поверхности пирамиды:
Дано: \(b = 4\) см, \(\alpha = 45^{\circ}\) (угол между боковым ребром и плоскостью основания).
Основание — квадрат, так как пирамида правильная четырехугольная. Обозначим сторону основания через \(a\). Диагональ основания \(d = a\sqrt{2}\). Половина диагонали \(d/2 = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Высота пирамиды \(h\).
В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, высотой и половиной диагонали основания:
\(\cos \alpha = \frac{d/2}{b}\)
\(\cos 45^{\circ} = \frac{a\sqrt{2}/2}{4}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{8}\)
\(a = 4\) см.
\(\sin \alpha = \frac{h}{b}\)
\(\sin 45^{\circ} = \frac{h}{4}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{4}\)
\(h = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\) см.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех треугольников.
Апофема \(h_a\) (высота боковой грани):
\(h_a = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{4^2 - (4/2)^2} = \sqrt{16 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) см.
Площадь одной боковой грани (треугольника): \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\) см².
Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\) см².
Ответ: высота пирамиды \(h = 2\sqrt{2}\) см, площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 16\sqrt{3}\) см².
Концентрация получившегося раствора:
Количество вещества в первом растворе: \(4 \text{ л} \cdot 15\% = 4 \cdot 0,15 = 0,6\) л.
Количество вещества во втором растворе: \(6 \text{ л} \cdot 25\% = 6 \cdot 0,25 = 1,5\) л.
Общее количество вещества: \(0,6 + 1,5 = 2,1\) л.
Общий объем раствора: \(4 + 6 = 10\) л.
Концентрация получившегося раствора: \(\frac{\text{общее количество вещества}}{\text{общий объем раствора}} \cdot 100\% = \frac{2,1}{10} \cdot 100\% = 0,21 \cdot 100\% = 21\%\)