Вариант 2. Постройте график функции \(y=\frac{8}{x}\). С помощью графика найдите: а) значения \(y\) при \(x=1; -2; 4\); б) значения \(x\), если \(y=-1; 2; -8\); в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке \([1;8]\); г) при каких значениях \(x\) функция принимает положительные значения? Найдите точки пересечения графиков функций: а) \(y=\frac{18}{x}\) и \(y=2x\); б) \(y=-\frac{8}{x}\) и \(y=-2x\). Принадлежит ли графику функции \(y=-\frac{54}{x}\) точка: \(A(-6;9)\); \(B(9;-6)\); \(C(3;18)\); \(D(0;-54)\)?

График \(y=\frac{8}{x}\) — гипербола. Для построения отметим, например, точки \((1;8), (2;4), (4;2), (8;1), (-1;-8), (-2;-4), (-4;-2), (-8;-1)\), затем проведём две ветви, приближающиеся к осям.

1. а) Подставляем значения \(x\): \(y(1)=8\), \(y(-2)=-4\), \(y(4)=2\).
2. б) Из равенства \(y=\frac{8}{x}\) получаем \(x=\frac{8}{y}\): при \(y=-1\), \(x=-8\); при \(y=2\), \(x=4\); при \(y=-8\), \(x=-1\).
3. в) На \([1;8]\) функция убывает, поэтому \(y_{\max}=y(1)=8\), а \(y_{\min}=y(8)=1\).
4. г) Числитель положителен, поэтому функция положительна при \(x>0\).

Для точек пересечения приравниваем правые части уравнений.

1. а) \(\frac{18}{x}=2x\), значит \(x^2=9\), откуда \(x=\pm3\). Соответствующие значения \(y\): 6 и −6. Точки: \((3;6)\), \((-3;-6)\).
2. б) \(-\frac{8}{x}=-2x\), значит \(x^2=4\), откуда \(x=\pm2\). Соответствующие значения \(y\): −4 и 4. Точки: \((2;-4)\), \((-2;4)\).

Проверяем координаты подстановкой в \(y=-\frac{54}{x}\); при \(x=0\) функция не определена.

• \(A(-6;9)\): \(-54/(-6)=9\) — принадлежит.
• \(B(9;-6)\): \(-54/9=-6\) — принадлежит.
• \(C(3;18)\): \(-54/3=-18\ne18\) — не принадлежит.
• \(D(0;-54)\): функция при \(x=0\) не определена — не принадлежит.

Ответ: а) 8; −4; 2. б) −8; 4; −1. в) наибольшее 8, наименьшее 1. г) \(x>0\). Пересечения: а) \((3;6), (-3;-6)\); б) \((2;-4), (-2;4)\). Точки A и B принадлежат графику; C и D — нет.