Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Вариант 2. Решение уравнений высших степеней: 1) \(x^4-9x^2-10=0\); 2) \(x^3-19x-30=0\); 3) \(x^3-6x^2+5x+12=0\); 4)…Фото задания

Ответ:

  1. Положим \(y=x^2\). Тогда \(y^2-9y-10=(y-10)(y+1)=0\). Для действительных \(x\) подходит только \(y=10\).

    Ответ: \(x=\pm\sqrt{10}\).

  2. Разложение: \(x^3-19x-30=(x-5)(x+2)(x+3)\).

    Ответ: \(x=-3,\ -2,\ 5\).

  3. Разложение: \(x^3-6x^2+5x+12=(x+1)(x-3)(x-4)\).

    Ответ: \(x=-1,\ 3,\ 4\).

  4. ОДЗ: \(x\ne0\). Умножим уравнение на \(x^2\): \(4x^4+2x^3-8x^2+x+1=0\). Выделение корня \(x=1\) даёт \((x-1)(4x^3+6x^2-2x-1)=0\). У кубического множителя три действительных корня; численно они равны примерно \(-1.8256\), \(-0.3028\) и \(0.6284\).

    Ответ: \(x=1\) и корни \(4x^3+6x^2-2x-1=0\) (приблизительно \(-1.8256,\ -0.3028,\ 0.6284\)).

  5. Многочлен раскладывается так: \(2x^4+3x^3-3x^2-3x+2=(x^2-1)(2x^2+3x-2)=(x-1)(x+1)(2x-1)(x+2)\).

    Ответ: \(x=-2,\ -1,\ \frac12,\ 1\).

  6. Сгруппируем множители: \(x(x-3)(x-1)(x-2)=15\). Положим \(t=x^2-3x\); тогда \((x-1)(x-2)=t+2\), поэтому \(t(t+2)=15\). Отсюда \((t-3)(t+5)=0\).

    При \(t=3\): \(x^2-3x-3=0\), откуда \(x=\frac{3\pm\sqrt{21}}2\). При \(t=-5\) уравнение \(x^2-3x+5=0\) не имеет действительных корней.

    Ответ: \(x=\frac{3-\sqrt{21}}2,\ \frac{3+\sqrt{21}}2\).