Вариант 2. Решите треугольник: а) a = 9; b = 8; ∠B = 56°; б) ∠C = 130°; ∠B = 25°; b = 10; в) a = 5; b = 7; c = 9.

а) По теореме синусов:

\(\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{9\sin 56^\circ}{8}\approx0.9327\).

Возможны два угла: \(A_1\approx68.9^\circ\) и \(A_2=180^\circ-A_1\approx111.1^\circ\). Оба дают допустимую сумму углов треугольника.

Тогда \(C_1=180^\circ-56^\circ-68.9^\circ\approx55.1^\circ\), а \(C_2=180^\circ-56^\circ-111.1^\circ\approx12.9^\circ\).

Снова применяем теорему синусов: \(c=\frac{b\sin C}{\sin B}\). Получаем два решения: при \(A_1\): \(c_1\approx6.56\); при \(A_2\): \(c_2\approx2.16\).

Ответ: возможны два треугольника: \(A\approx68.9^\circ, C\approx55.1^\circ, c\approx6.56\) или \(A\approx111.1^\circ, C\approx12.9^\circ, c\approx2.16\).

б) Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(A=180^\circ-130^\circ-25^\circ=25^\circ\).

По теореме синусов: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\). Так как \(A=B\), то \(a=b=10\).

Для третьей стороны: \(c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{10\sin130^\circ}{\sin25^\circ}\approx18.13\).

Ответ: \(A=25^\circ, a=10, c\approx18.13\).

в) Используем теорему косинусов для нахождения углов.

\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{49+81-25}{126}=\frac56\), значит, \(A\approx33.6^\circ\).

\(\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{25+81-49}{90}=\frac{19}{30}\), значит, \(B\approx50.7^\circ\).

\(C=180^\circ-A-B\approx95.7^\circ\).

Ответ: \(A\approx33.6^\circ, B\approx50.7^\circ, C\approx95.7^\circ\).