Вариант 2: Решите уравнение: 1) cos6x = -√3/2; 2) sin(x/3 + π/6) = -1; 3) sin5x + sin7x = 0 Решите неравенство: 1) sin(x/6) > √3/2; 2) ctg(6x + π/6) ≥ -√3. Решите уравнение: 1) 4sin²x - 11cosx - 1 = 0;

Решение:

Вариант 2

Решите уравнение:

1. 1) cos6x = -√3/2
   • Общее решение:
   • 6x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z → x = 5π/36 + πn/3, n ∈ Z
   • 6x = 7π/6 + 2πn, n ∈ Z → x = 7π/36 + πn/3, n ∈ Z
2. 2) sin(x/3 + π/6) = -1
   • Общее решение:
   • x/3 + π/6 = 3π/2 + 2πn, n ∈ Z
   • x/3 = 3π/2 - π/6 + 2πn, n ∈ Z
   • x/3 = 9π/6 - π/6 + 2πn, n ∈ Z
   • x/3 = 8π/6 + 2πn, n ∈ Z
   • x/3 = 4π/3 + 2πn, n ∈ Z
   • x = 4π + 6πn, n ∈ Z
3. 3) sin5x + sin7x = 0
   • Используем формулу суммы синусов: sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
   • 2sin((5x+7x)/2)cos((5x-7x)/2) = 0
   • 2sin(6x)cos(-x) = 0
   • sin(6x)cos(x) = 0
   • Следовательно, sin(6x) = 0 или cos(x) = 0
   • 6x = πn, n ∈ Z → x = πn/6, n ∈ Z
   • x = π/2 + πk, k ∈ Z
   • (Замечание: решение x = π/2 + πk содержится в решении x = πn/6 при n = 3, 9, 15, ...)

Решите неравенство:

1. 1) sin(x/6) > √3/2
   • Общее решение:
   • π/3 + 2πn < x/6 < 2π/3 + 2πn, n ∈ Z
   • 6(π/3 + 2πn) < x < 6(2π/3 + 2πn), n ∈ Z
   • 2π + 12πn < x < 4π + 12πn, n ∈ Z
2. 2) ctg(6x + π/6) ≥ -√3
   • Общее решение:
   • πn < 6x + π/6 ≤ 2π/3 + πn, n ∈ Z
   • πn - π/6 < 6x ≤ 2π/3 - π/6 + πn, n ∈ Z
   • πn - π/6 < 6x ≤ π/2 + πn, n ∈ Z
   • πn/6 - π/36 < x ≤ π/12 + πn/6, n ∈ Z

Решите уравнение:

1. 1) 4sin²x - 11cosx - 1 = 0
   • Заменим sin²x на 1 - cos²x:
   • 4(1 - cos²x) - 11cosx - 1 = 0
   • 4 - 4cos²x - 11cosx - 1 = 0
   • -4cos²x - 11cosx + 3 = 0
   • 4cos²x + 11cosx - 3 = 0
   • Пусть y = cosx, тогда 4y² + 11y - 3 = 0
   • D = 11² - 4(4)(-3) = 121 + 48 = 169
   • y1 = (-11 + 13) / (2*4) = 2/8 = 1/4
   • y2 = (-11 - 13) / (2*4) = -24/8 = -3 (не подходит, так как cosx ≥ -1)
   • cosx = 1/4
   • x = ±arccos(1/4) + 2πn, n ∈ Z