Вариант 2. Решите уравнения: а) 9 · 3^(x+2) = 27^x; б) 5^(x+3) − 75 · 5^x = 50; в) 4^x + 2^x = 2; г) 4 · 4^x − 33 · 2^x + 8 = 0; д) 3^(3x+1) − 2 · 3^(3x) = 27. Решите неравенства: а) 0,7^x ≥ 2 2/49; б) 5^(2x+1) < 125; в) 6^(x+2) − 6^x > 35; г) (1/7)^(x−1) + (1/7)^(x+1) ≤ 50.

Уравнения

1. Запишем всё как степени тройки: \(3^{x+4}=3^{3x}\). Приравниваем показатели: \(x+4=3x\), поэтому \(x=2\).
2. Вынесем \(5^x\): \(5^x(125-75)=50\), значит \(50\cdot5^x=50\), откуда \(x=0\).
3. Пусть \(t=2^x>0\). Тогда \(t^2+t=2\), то есть \((t-1)(t+2)=0\). Подходит \(t=1\), следовательно, \(x=0\).
4. Пусть \(t=2^x>0\). Получаем \(4t^2-33t+8=0\). Корни: \(t=(33\pm31)/8\), то есть \(t=8\) или \(t=1/4\). Поэтому \(x=3\) или \(x=-2\).
5. Вынесем \(3^{3x}\): \((3-2)3^{3x}=27\). Значит, \(3^{3x}=3^3\), откуда \(x=1\).

Неравенства

1. \(2\ 2/49=100/49=(10/7)^2\), а \(0{,}7^x=(10/7)^{-x}\). Поэтому \(-x\ge2\), то есть \(x\le-2\).
2. \(125=5^3\). Сравниваем показатели: \(2x+1<3\), откуда \(x<1\).
3. \(6^{x+2}-6^x=35\cdot6^x\). Следовательно, \(35\cdot6^x>35\), то есть \(6^x>1\), откуда \(x>0\).
4. Пусть \(t=(1/7)^x>0\). Тогда \(7t+t/7\le50\), откуда \(t\le7\). Значит, \(7^{-x}\le7\), поэтому \(x\ge-1\).

Ответ: уравнения: а) 2; б) 0; в) 0; г) −2, 3; д) 1. Неравенства: а) \(x\le-2\); б) \(x<1\); в) \(x>0\); г) \(x\ge-1\).