Вариант 2. Упростите выражение: а) $y+\frac{3y}{y-3}$; б) $\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}$; в) $\frac{4}{x+4}-\frac{x}{x-4}$; г) $\frac{2p-q}{p^2+qp}+\frac{p-2q}{pq+q^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2. Упростите выражение: а) $y+\frac{3y}{y-3}$; б) $\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) $y+\frac{3y}{y-3}$

Приведём к общему знаменателю $y-3$:

\[y+\frac{3y}{y-3}=\frac{y(y-3)+3y}{y-3}=\frac{y^2-3y+3y}{y-3}=\frac{y^2}{y-3}.\]

ОДЗ: $y\ne3$.

б) $\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}$

Общий знаменатель: $5x(x-5)$.

\[\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}=\frac{10x+(x+5)(x-5)}{5x(x-5)}=\frac{10x+x^2-25}{5x(x-5)}=\frac{x^2+10x-25}{5x(x-5)}.\]

ОДЗ: $x\ne0$, $x\ne5$.

в) $\frac{4}{x+4}-\frac{x}{x-4}$

Общий знаменатель: $(x+4)(x-4)$.

\[\frac{4}{x+4}-\frac{x}{x-4}=\frac{4(x-4)-x(x+4)}{(x+4)(x-4)}=\frac{4x-16-x^2-4x}{x^2-16}=\frac{-x^2-16}{x^2-16}.\]

ОДЗ: $x\ne-4$, $x\ne4$.

г) $\frac{2p-q}{p^2+qp}+\frac{p-2q}{pq+q^2}$

Разложим знаменатели на множители:

\[p^2+qp=p(p+q),\qquad pq+q^2=q(p+q).\]

Тогда общий знаменатель равен $pq(p+q)$:

\[\frac{2p-q}{p(p+q)}+\frac{p-2q}{q(p+q)}=\frac{q(2p-q)+p(p-2q)}{pq(p+q)}.\]

\[\frac{2pq-q^2+p^2-2pq}{pq(p+q)}=\frac{p^2-q^2}{pq(p+q)}=\frac{(p-q)(p+q)}{pq(p+q)}=\frac{p-q}{pq}.\]

ОДЗ: $p\ne0$, $q\ne0$, $p+q\ne0$.

Ответ: а) $\frac{y^2}{y-3}$; б) $\frac{x^2+10x-25}{5x(x-5)}$; в) $\frac{-x^2-16}{x^2-16}$; г) $\frac{p-q}{pq}$.

Вариант 2. Упростите выражение: а) \(y+\frac{3y}{y-3}\); б) \(\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}\); в) \(\frac{4}{x+4}-\frac{x}{x-4}\); г) \(\frac{2p-q}{p^2+qp}+\frac{p-2q}{pq+q^2}\).