Вариант 2. В параллелограмме ABCD \(\overrightarrow{CB}=(3;4)\), \(\overrightarrow{CD}=(4;-2)\). Точки K и P лежат на сторонах AB и AD соответственно так, что AK : KB = 2 : 1, AD = PD. а) Найдите координаты вектора \(\overrightarrow{KP}\). б) Запишите разложение вектора \(\overrightarrow{KP}\) по координатным векторам \(\vec i\) и \(\vec j\). в) Найдите длину вектора \(\overrightarrow{CA}\).

Буквально понимая «сторону AD» как отрезок AD, из AD = PD следует P = A: единственная точка отрезка AD, находящаяся от D на расстоянии AD, — A.

1. Из данных \(\overrightarrow{CB}=(3;4)\), \(\overrightarrow{CD}=(4;-2)\) получаем \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(-4;2)\), а \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(-3;-4)\).
2. Поскольку AK : KB = 2 : 1, точка K делит AB в отношении 2 : 1 от A, поэтому \(\overrightarrow{AK}=\frac23\overrightarrow{AB}=(-\frac83;\frac43)\).
3. Так как P=A, то \(\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{KA}=-\overrightarrow{AK}=(\frac83;-\frac43)\).
4. Разложение по координатным векторам: \(\overrightarrow{KP}=\frac83\vec i-\frac43\vec j\).
5. \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=(4;-2)+(3;4)=(7;2)\), следовательно, \(|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}\).

Ответ: а) \((\frac83;-\frac43)\); б) \(\frac83\vec i-\frac43\vec j\); в) \(\sqrt{53}\).

Примечание: если автор подразумевал, что P лежит на продолжении AD за точку D, тогда \(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AD}\), и получились бы \(\overrightarrow{KP}=(-\frac{10}{3};-\frac{28}{3})\) и разложение \(-\frac{10}{3}\vec i-\frac{28}{3}\vec j\). Такое прочтение не соответствует слову «сторона» в обычном значении отрезка.