Вариант 2, Задание 2: В окружности с центром О проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK (рис. 65). Докажите, что ∠MNK=∠MNF.

Доказательство:

По условию, хорды NF и NK равны: \(NF = NK\).

Рассмотрим треугольники ONF и ONK. \(ON\) является радиусом, \(OF = ON = OK\) (радиусы окружности).

В треугольниках ONF и ONK:

• \(ON\) — общая сторона.
• \(OF = OK\) (радиусы).
• \(NF = NK\) (по условию).

Следовательно, треугольники ONF и ONK равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что равны соответствующие углы: \(\angle FON = \angle KON\) и \(\angle NFO = \angle NKO\).

Угол MNK — вписанный угол, опирающийся на дугу NK. Угол MNF — вписанный угол, опирающийся на дугу NF.

Так как хорды NK и NF равны, то и дуги, на которые они опираются, равны: дуга NK = дуга NF.

Равные дуги определяют равные вписанные углы, опирающиеся на них. Следовательно, \(\angle MNK = \angle MNF\).

Альтернативное доказательство:

Рассмотрим треугольники MNK и MNF.

• \(MN\) — общий диаметр.
• \(\angle MKN\) вписан и опирается на диаметр, значит \(\angle MKN = 90^{\circ}\).
• \(\angle MFN\) вписан и опирается на диаметр, значит \(\angle MFN = 90^{\circ}\).

Таким образом, треугольники MNK и MNF являются прямоугольными.

Так как \(NK = NF\) (по условию), то прямоугольные треугольники MNK и MNF равны по катету и гипотенузе (т.к. \(MN\) — общая гипотенуза).

Из равенства треугольников следует, что равны соответствующие углы: \(\angle MNK = \angle MNF\).