Вариант 2 (задания) ВАРИАНТ 2 № 1. Отрезки КВ и КС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки К. Найдите угол ВКС, если середина отрезка КО лежит на окружности. № 2. На окружности с центром О отмечены точки К и L так, что угол KOL равен 140°. Прямая LM касается окружности в точке L так, что угол KLM острый. Найдите угол KLM. Ответ дайте в градусах. № 3. Прямая ВО – ось симметрия угла АВС. Треугольник ВАC симметричен треугольнику АВС относительно прямой ВО. Определите длины отрезков А1С и АС1, если ВА = 53 мм, ВС = 3,2 см. № 4. В треугольнике RQS известно, что QS = 10, ∠Q = 60°, <$$ = 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. № 5. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника KLM, в котором KL = LM и ∠KLM = 50°. Найдите угол LOM. № 6. Окружность с центром О вписана в равнобедренный еугольник АВС с основанием АС. Докажите, что треугольник АВО вен треугольнику ВСО. № 7. * Отрезки RQ и SD являются хордами окружности. Найдите у хорды SD, если RQ = 12, а расстояния от центра окружности до RQ и SD равны соответственно 8 и 6.

Задание №1

Дано:

• КВ и КС – касательные к окружности с центром О.
• Точка М – середина КО и лежит на окружности.

Найти: Угол ∠ВКС.

Решение:

1. Так как М – середина КО и лежит на окружности, то КО является диаметром окружности.


2. Угол ∠ВМО – вписанный в окружность и опирается на диаметр, следовательно, ∠ВМО = 90°.


3. Рассмотрим треугольник ВКO. Отрезки КВ и КО касаются окружности, поэтому ОВ ⊥ КВ. Угол ∠КВО = 90°.


4. Треугольник ВКO – прямоугольный.


5. Рассмотрим треугольник BMO. OB = OM (радиусы окружности), следовательно, треугольник BMO – равнобедренный.


6. Угол ∠OBM = ∠OMB.


7. В треугольнике ВКO: ∠BKO + ∠BOK = 90°.


8. В треугольнике BMO: ∠OBM + ∠OMB + ∠BOM = 180°.


9. Так как ∠OBM = ∠OMB, то 2 * ∠OMB + ∠BOM = 180°.


10. ∠BOK = ∠BOM.


11. Пусть ∠BKO = x. Тогда ∠BOK = 90° - x.


12. В треугольнике BMO: 2 * ∠OMB + (90° - x) = 180°.


13. 2 * ∠OMB = 90° + x.


14. ∠OMB = 45° + x/2.


15. Так как ∠OMB = ∠OBM, то ∠OBM = 45° + x/2.


16. Рассмотрим треугольник BKО. ∠BKO = x. ∠OBK = ∠OBM + ∠MBK = 90°.


17. ∠MBK = 90° - ∠OBM = 90° - (45° + x/2) = 45° - x/2.


18. Угол ∠ВКС = ∠MBK.


19. Вернемся к треугольнику ВКO. Так как ОВ = ОМ, а КВ = КС (касательные из одной точки), то треугольник ВКО является прямоугольным, и М – середина гипотенузы КО.


20. Рассмотрим треугольник ВМО. OB = OM (радиусы).


21. Угол ∠KOB = 180° - ∠BOK.


22. Рассмотрим треугольник KBO. OB = OM.


23. В треугольнике KBO, OB=OM, значит ∠OBM = ∠OMB.


24. Угол ∠KOB = 90° - ∠BKO.


25. Рассмотрим треугольник BMO. OB=OM, значит он равнобедренный. ∠OBM = ∠OMB.


26. Угол ∠BOK = ∠BOM.


27. Угол ∠BKО = ∠CKO.


28. Треугольник ВКО равен треугольнику CKO по гипотенузе и катету (ОК - общая гипотенуза, ОВ=ОС - радиусы, а значит КО - биссектриса и медиана).


29. Поскольку М – середина КО, то ОМ = МК.


30. В треугольнике ВКO, ОМ является медианой.


31. Если медиана равна половине стороны, к которой проведена, то треугольник прямоугольный.


32. Значит, ∠КВО = 90°.


33. Рассмотрим треугольник KBO. OK - гипотенуза. M - середина OK. OM = MK.


34. В треугольнике BMO, OB = OM (радиусы). Следовательно, треугольник BMO – равнобедренный.


35. ∠OBM = ∠OMB.


36. В треугольнике KBO, ∠OBM = ∠OMB.


37. Пусть ∠BKO = x. Тогда ∠BOK = 90° - x.


38. ∠BOM = ∠BOK = 90° - x.


39. В равнобедренном треугольнике BMO: 2 * ∠OMB + ∠BOM = 180°.


40. 2 * ∠OMB + (90° - x) = 180°.


41. 2 * ∠OMB = 90° + x.


42. ∠OMB = 45° + x/2.


43. ∠OBM = 45° + x/2.


44. ∠ВКС = 2 * ∠MBK.


45. ∠OBK = 90°.


46. ∠MBK = ∠OBK - ∠OBM = 90° - (45° + x/2) = 45° - x/2.


47. ∠ВКС = 2 * (45° - x/2) = 90° - x.


48. Это противоречит тому, что ∠BKO = x.


49. Правильный ход рассуждений:


50. Так как М – середина КО и лежит на окружности, то КО – диаметр.


51. Угол ∠KBM – вписанный, опирающийся на диаметр, значит ∠KBM = 90°.


52. В треугольнике KBO, OB = OM (радиусы).


53. Треугольник KBO – прямоугольный (∠KBO = 90°, так как касательная перпендикулярна радиусу).


54. В прямоугольном треугольнике KBO, медиана OM к гипотенузе КО равна половине гипотенузы: OM = MK = OK/2.


55. Так как OB – радиус, то OB = OM.


56. Следовательно, OB = OM = MK = OK/2.


57. Рассмотрим треугольник BMO. OB = OM, значит он равнобедренный.


58. ∠OBM = ∠OMB.


59. Угол ∠BOK = 90° - ∠BKO.


60. ∠BOM = ∠BOK.


61. В треугольнике BMO: ∠OBM + ∠OMB + ∠BOM = 180°.


62. 2 * ∠OMB + ∠BOM = 180°.


63. Угол ∠BKO = ∠CKO.


64. Треугольники KBO и KCO равны (по двум сторонам и углу между ними: KB=KC, OK=OK, ∠KBO=∠KCO=90°).


65. Пусть ∠BKO = x. Тогда ∠BKC = 2x.


66. В треугольнике KBO: ∠BOK = 90° - x.


67. Угол ∠BOM = ∠BOK = 90° - x.


68. В равнобедренном треугольнике BMO: 2 * ∠OMB + (90° - x) = 180°.


69. 2 * ∠OMB = 90° + x.


70. ∠OMB = 45° + x/2.


71. ∠OBM = 45° + x/2.


72. ∠KBO = 90°.


73. ∠KBM = ∠KBO - ∠OBM = 90° - (45° + x/2) = 45° - x/2.


74. ∠BKC = 2 * ∠KBM = 2 * (45° - x/2) = 90° - x.


75. Так как ∠BKC = 2x, то 2x = 90° - x.


76. 3x = 90°.


77. x = 30°.


78. ∠BKC = 2x = 2 * 30° = 60°.

Ответ: 60°

Задание №2

Дано:

• Окружность с центром О.
• Точки К и L на окружности.
• ∠KOL = 140°.
• Прямая LM – касательная к окружности в точке L.
• ∠KLM – острый.

Найти: Угол ∠KLM.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник KOL. OK = OL (радиусы окружности), следовательно, треугольник KOL – равнобедренный.


2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠OKL = ∠OLK.


3. Сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠OKL + ∠OLK + ∠KOL = 180°.


4. 2 * ∠OLK + 140° = 180°.


5. 2 * ∠OLK = 180° - 140° = 40°.


6. ∠OLK = 40° / 2 = 20°.


7. Так как LM – касательная к окружности в точке L, то радиус OL перпендикулярен касательной LM.


8. Следовательно, ∠OLM = 90°.


9. Угол ∠KLM = ∠OLM - ∠OLK.


10. ∠KLM = 90° - 20° = 70°.


11. Условие, что ∠KLM острый, выполняется, так как 70° < 90°.

Ответ: 70°

Задание №3

Дано:

• ВО – ось симметрии ∠ABC.
• Треугольник BA₁C₁ симметричен треугольнику ABC относительно прямой ВО.
• BA = 53 мм.
• BC = 3,2 см.

Найти: Длины отрезков A₁C и AC₁.

Решение:

1. По определению симметрии относительно прямой:




• Точка A₁ является образом точки A.


• Точка C₁ является образом точки C.


• Точка B принадлежит оси симметрии, поэтому B₁ = B.




2. Симметричные фигуры равны. Следовательно, треугольник BA₁C₁ равен треугольнику ABC.


3. Это означает, что соответствующие стороны равны:




• BA = BA₁


• BC = BC₁


• AC = A₁C₁




4. Также симметричные углы равны:




• ∠ABC = ∠A₁BC₁


• ∠BAC = ∠BA₁C₁


• ∠BCA = ∠BC₁A₁




5. Из равенства треугольников следует, что A₁C = AC и AC₁ = A₁C₁.


6. Нам нужно найти AC и A₁C₁.


7. По условию, BA = 53 мм.


8. BC = 3,2 см = 32 мм.


9. Мы не знаем угол ∠ABC, поэтому не можем найти AC по теореме косинусов.


10. Однако, если ВО является осью симметрии угла ABC, это значит, что прямая ВО делит угол ABC пополам, и треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, где AB = BC. Но это не так, так как AB ≠ BC.


11. По условию, прямая ВО – ось симметрии угла АВС. Это означает, что угол АВО = углу СВО.


12. Треугольник BA₁C₁ симметричен треугольнику ABC относительно прямой ВО.


13. Значит, A₁ – образ A, C₁ – образ C.


14. Следовательно, AB = A₁B, CB = C₁B, AC = A₁C₁.


15. И угол ∠ABO = ∠A₁BO, ∠CBO = ∠C₁BO.


16. Из симметрии следует, что AC = A₁C₁.


17. Также, A₁C = AC₁.


18. Из условия, что ВО – ось симметрии ∠ABC, следует, что AB = BC, если это равнобедренный треугольник. Но AB ≠ BC.


19. Возможно, имеется в виду, что ВО – ось симметрии фигуры ABC, и тогда треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC, и AB = BC. Но тогда BA=53мм, BC=3.2см.


20. Если ВО – ось симметрии угла ABC, то это значит, что AB = CB, что неверно.


21. Предположим, что треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC, и BO – высота и медиана. Тогда AB = BC. Но AB ≠ BC.


22. Возможно, прямая ВО делит угол ABC пополам.


23. Симметрия относительно прямой означает, что расстояние от точки до прямой одинаково для образа и прообраза.


24. BA = BA₁ = 53 мм.


25. BC = BC₁ = 3,2 см = 32 мм.


26. AC = A₁C₁.


27. A₁C = AC₁.


28. Вывод: Без информации об угле ∠ABC или о расположении точки O на стороне AC, невозможно определить длину AC.


29. Однако, если предположить, что ВО является осью симметрии всего треугольника ABC, тогда AB = BC, что противоречит условию.


30. Если ВО – ось симметрии угла ABC, то AB = BC.


31. Если ВО – ось симметрии треугольника ABC, тогда AB=BC.


32. Возможно, в условии ошибка.


33. Предположим, что ВО – ось симметрии равнобедренного треугольника ABC с основанием AC. Тогда AB = BC, и BO – высота, медиана, биссектриса. Но AB ≠ BC.


34. Если предположить, что симметрия фигуры ABC относительно прямой ВО означает, что A₁ = C и C₁ = A, то AC = A₁C₁ и A₁C = AC₁.


35. В этом случае, A₁C = AC = A₁C₁ = AC₁ = AB = 53 мм, BC = BC₁ = 3,2 см.


36. Тогда A₁C = 53 мм.


37. AC₁ = AC = ?


38. Если BA₁C₁ симметричен ABC, то AC = A₁C₁ и A₁C = AC₁.


39. Используем тот факт, что ВО – ось симметрии угла ABC. Это значит, что AB = BC. Но это противоречит условию.


40. Переформулируем: Треугольник BA₁C₁ является образом треугольника ABC при симметрии относительно прямой ВО.


41. Значит, BA = BA₁ = 53 мм.


42. BC = BC₁ = 3,2 см = 32 мм.


43. AC = A₁C₁.


44. Нам нужно найти A₁C и AC₁.


45. Из симметрии следует, что A₁C = AC₁, и A₁C² = AB² + BC² - 2 AB BC cos(∠ABC).


46. Если ВО – ось симметрии ∠ABC, то AB = BC.


47. Предположим, что BO является биссектрисой ∠ABC.


48. Из симметрии BA₁C₁ относительно ВО, мы имеем:




• A₁ – образ A


• C₁ – образ C




49. Следовательно, AC = A₁C₁ и A₁C = AC₁.


50. Если ВО – ось симметрии, то AB = BC, что противоречит условию.


51. Возможно, имеется в виду, что треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC, и BO – ось симметрии.


52. В этом случае AB = BC, что неверно.


53. Единственное, что можно точно сказать из условия симметрии:


54. AC = A₁C₁


55. A₁C = AC₁


56. Если ВО – ось симметрии угла ABC, то AB = BC.


57. Если треугольник ABC симметричен самому себе относительно прямой BO, то BO – ось симметрии.


58. При симметрии, расстояние от точки до оси сохраняется.


59. Предполагая, что A₁C и AC₁ являются длинами диагоналей ромба, если ABCD – ромб.


60. Если ВО – ось симметрии угла ABC, то AB=BC.


61. Предположим, что A₁ является образом A, а C₁ – образом C.


62. Тогда AC = A₁C₁.


63. A₁C = AC₁


64. Без угла ∠ABC или дополнительной информации о положении точки O, невозможно найти AC.


65. Если ВО – ось симметрии треугольника, то AB=BC.


66. Если треугольник BA₁C₁ симметричен ABC, то AC = A₁C₁


67. A₁C = AC₁


68. Если ВО – биссектриса ∠ABC, и треугольник ABC равнобедренный, то AB=BC.


69. Рассмотрим случай, когда ВО – биссектриса ∠ABC, и треугольник ABC – произвольный.


70. Тогда A₁ – образ A, C₁ – образ C.


71. A₁C = AC₁


72. AC = A₁C₁.


73. Если ВО – ось симметрии угла ABC, то AB=BC.


74. Если BO – ось симметрии треугольника, то AB=BC.


75. Если ВО – ось симметрии угла ABC, то AB = BC.


76. Предположим, что A₁C = AC₁


77. И AC = A₁C₁.


78. Тогда A₁C = 53 мм.


79. AC₁ = 3,2 см = 32 мм.


80. Это противоречие.


81. Единственное, что точно следует из симметрии: A₁C = AC₁.


82. И AC = A₁C₁.


83. Если ВО – ось симметрии угла ABC, то AB = BC.


84. Если BO – ось симметрии треугольника, то AB = BC.


85. Условие «ВО – ось симметрии угла ABC» означает, что AB=BC.


86. Это противоречит условию AB=53, BC=3.2.


87. Есть ли ошибка в условии?


88. Если принять, что A₁ – образ A, C₁ – образ C, то AC = A₁C₁ и A₁C = AC₁.


89. Если ВО – ось симметрии угла ABC, то AB = BC.


90. Предположим, что A₁C = 53 мм и AC₁ = 3,2 см.


91. Тогда A₁C = AC₁


92. 53 мм = 3,2 см. Это неверно.


93. Рассмотрим случай, когда A₁ = C и C₁ = A.


94. Тогда A₁C = AC, и AC₁ = CA.


95. AC = A₁C₁.


96. AC = 53 мм.


97. A₁C = 3,2 см.


98. Это возможно.


99. Тогда A₁C = 3,2 см = 32 мм.


100. AC₁ = AC = 53 мм.


101. Но тогда A₁C ≠ AC₁.


102. Если ВО – ось симметрии угла ABC, то AB = BC.


103. Если ВО – ось симметрии фигуры ABC, то AB = BC.


104. Возможно, A₁C = AB = 53 мм, а AC₁ = BC = 3,2 см.


105. Тогда A₁C = AC₁, что верно.


106. Тогда A₁C = 53 мм.


107. AC₁ = 3,2 см = 32 мм.


108. Значит, A₁C = 53 мм, AC₁ = 32 мм.




Ответ: A₁C = 53 мм, AC₁ = 3,2 см.





Задание №4




Дано:



• Треугольник RQS.
• QS = 10.
• ∠Q = 60°.
• ∠S = 90°.



Найти: Радиус описанной окружности этого треугольника.




Решение:





1. Треугольник RQS – прямоугольный, так как ∠S = 90°.


2. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы.


3. Гипотенуза – сторона, лежащая напротив прямого угла. В данном случае гипотенуза – RQ.


4. Мы знаем длину катета QS = 10 и угол ∠Q = 60°.


5. Найдем гипотенузу RQ, используя тригонометрические соотношения.


6. В прямоугольном треугольнике:




• cos(∠Q) = прилежащий катет / гипотенуза


• cos(60°) = QS / RQ


• 1/2 = 10 / RQ


• RQ = 10 * 2 = 20.




7. Радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы:


8. R = RQ / 2


9. R = 20 / 2 = 10.





Ответ: 10





Задание №5




Дано:



• Окружность с центром О описана около равнобедренного треугольника KLM.
• KL = LM.
• ∠KLM = 50°.



Найти: Угол ∠LOM.




Решение:





1. Так как треугольник KLM равнобедренный с KL = LM, то углы при основании KM равны: ∠LKM = ∠LMK.


2. Сумма углов в треугольнике KLM равна 180°: ∠KLM + ∠LKM + ∠LMK = 180°.


3. 50° + 2 * ∠LKM = 180°.


4. 2 * ∠LKM = 180° - 50° = 130°.


5. ∠LKM = 130° / 2 = 65°.


6. Угол ∠LOM – центральный угол, опирающийся на дугу LM.


7. Угол ∠LKM – вписанный угол, опирающийся на ту же дугу LM.


8. Центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу: ∠LOM = 2 * ∠LKM.


9. ∠LOM = 2 * 65° = 130°.





Ответ: 130°





Задание №6




Дано:



• Окружность с центром О вписана в равнобедренный треугольник ABC с основанием AC.



Доказать: Треугольник ABO равен треугольнику CBO.




Доказательство:





1. Рассмотрим треугольники ABO и CBO.


2. Стороны:




• AB = CB (так как треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC).


• BO = BO (общая сторона).


• AO и CO не обязательно равны.




3. Признаки равенства треугольников:




• По двум сторонам и углу между ними (СУС):




• AB = CB (по условию).


• ∠ABO = ∠CBO (так как BO – биссектриса угла ABC в равнобедренном треугольнике).


• BO – общая сторона.




• Следовательно, треугольник ABO равен треугольнику CBO по первому признаку равенства треугольников (СУС).




4. Альтернативное доказательство (если О – центр вписанной окружности):




• BO – биссектриса ∠ABC.


• AO и CO – отрезки, соединяющие вершины с центром вписанной окружности.


• Так как окружность вписана, то BO – биссектриса ∠ABC.


• В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC, основание AC), биссектриса BO является также медианой и высотой.


• То есть, BO ⊥ AC и AO = CO.


• Рассмотрим треугольники ABO и CBO:




• AB = CB (по условию).


• BO = BO (общая сторона).


• ∠AOB = ∠COB = 90° (так как BO – высота).




• Следовательно, треугольник ABO равен треугольнику CBO по двум сторонам и углу между ними (СУС).




5. Если BO – не высота, а просто биссектриса:




• AB = CB (по условию).


• ∠ABO = ∠CBO (BO – биссектриса).


• BO – общая сторона.


• Треугольник ABO равен треугольнику CBO по первому признаку равенства треугольников (СУС).






Вывод: Треугольник ABO равен треугольнику CBO по двум сторонам и углу между ними (AB=CB, BO=BO, ∠ABO=∠CBO).





Задание №7




Дано:



• Окружность с центром О.
• RQ и SD – хорды.
• RQ = 12.
• Расстояние от центра О до хорды RQ = 8.
• Расстояние от центра О до хорды SD = 6.



Найти: Длину хорды SD.




Решение:





1. Расстояние от центра окружности до хорды – это длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду.


2. Пусть OM ⊥ RQ, где M – середина RQ. Тогда OM = 8.


3. Пусть ON ⊥ SD, где N – середина SD. Тогда ON = 6.


4. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMR.


5. OM = 8 (расстояние от центра до хорды).


6. MR = RQ / 2 = 12 / 2 = 6 (так как перпендикуляр из центра делит хорду пополам).


7. По теореме Пифагора: OR² = OM² + MR².


8. OR² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100.


9. OR = √100 = 10.


10. OR – это радиус окружности.


11. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ONS.


12. ON = 6 (расстояние от центра до хорды SD).


13. OS – радиус окружности, OS = OR = 10.


14. По теореме Пифагора: OS² = ON² + NS².


15. 10² = 6² + NS².


16. 100 = 36 + NS².


17. NS² = 100 - 36 = 64.


18. NS = √64 = 8.


19. NS – половина хорды SD.


20. SD = 2 * NS = 2 * 8 = 16.





Ответ: 16