Вариант 2 1. АС — касательная, ∠AOC = 75°. Чему равен ∠ACO? 2. AB — диаметр окружности с центром в точке О, ВС — хорда. Известно, что ∠AOC = 130°. Найдите градусные меры углов ДАОС.

Решение:

Задача 1:

• Дано: AC — касательная, ∠AOC = 75°.
• Найти: ∠ACO.
• Решение: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠ACO = 90°.

Задача 2:

• Дано: AB — диаметр, BC — хорда, ∠AOC = 130°.
• Найти: Углы ∠DAO.
• Решение:
• Угол ∠AOC — центральный, поэтому дуга AC = 130°.
• Угол ∠ABC — вписанный, опирается на дугу AC. Следовательно, ∠ABC = 130° / 2 = 65°.
• Треугольник BOC — равнобедренный (OB = OC — радиусы), поэтому ∠OBC = ∠OCB.
• Угол ∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 130° = 50° (развернутый угол AB).
• В треугольнике BOC: ∠OBC = ∠OCB = (180° - 50°) / 2 = 130° / 2 = 65°.
• Угол ∠BAC — вписанный, опирается на дугу BC. Угол ∠BOC = 50°, значит дуга BC = 50°.
• ∠BAC = 50° / 2 = 25°.
• В треугольнике AOC: OA = OC (радиусы), значит он равнобедренный.
• ∠OAC = ∠OCA = (180° - 130°) / 2 = 50° / 2 = 25°.
• Ответ: ∠DAO = 25°.

Ответ: 1. 90°; 2. 25°