Вариант № 2 1. Используя свойство клетчатой бумаги, найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника. 2. Длина пожарной лестницы равна 10 м. На какое расстояние от стены дома следует поставить нижний конец лестницы, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 8 м. 3. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и ВС равны 8 см и 15 см соответственно. Найдите синус угла А и тангенс угла В. 4. В равнобедренной трапеции основания равны 2 см и 6 см, а один из острых углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите периметр этой трапеции. 5. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если синус одного из острых углов прямоугольного треугольника равен 0,4, то косинус другого острого угла тоже равен 0,4. 2) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату катета. 3) В прямоугольном треугольнике угол, лежащий против катета, всегда острый. 4) В прямоугольном треугольнике биссектриса, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение:

1. Длина гипотенузы:

По свойству клетчатой бумаги, если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 5 клеткам (согласно рисунку), то гипотенуза равна \( \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \) клеткам.

2. Расстояние от стены:

Это задача на теорему Пифагора. Лестница — это гипотенуза (10 м), высота — один катет (8 м), расстояние от стены — другой катет (x).

\( x^2 + 8^2 = 10^2 \)

\( x^2 + 64 = 100 \)

\( x^2 = 100 - 64 \)

\( x^2 = 36 \)

\( x = \sqrt{36} = 6 \) м.

3. Синус и тангенс:

В прямоугольном треугольнике ABC:

Катет AC = 8 см, катет BC = 15 см.

\( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)

\( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)

\( \mathrm{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \)

Сначала найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( AB^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \)

\( AB = \sqrt{289} = 17 \) см.

Теперь найдем \( \sin A \) и \( \mathrm{tg} B \):

\( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{17} \)

\( \mathrm{tg} B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{15} \)

4. Периметр равнобедренной трапеции:

Основания: a = 2 см, b = 6 см.

Угол между боковой стороной и основанием = 45°.

Высота трапеции (h) и отрезок от вершины меньшего основания до основания, опущенный из вершины большего основания, образуют прямоугольный треугольник с углом 45°.

Разница оснований: \( (6 - 2) / 2 = 4 / 2 = 2 \) см. Это и есть прилежащий катет к углу 45°.

Так как угол равен 45°, то высота трапеции также равна 2 см.

Найдем боковую сторону (c) по теореме Пифагора:

\( c^2 = h^2 + 2^2 \)

\( c^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \)

\( c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) см.

Периметр трапеции = сумма всех сторон:

P = a + b + 2c = 2 + 6 + 2 * \(2\sqrt{2}\) = 8 + 4\(\sqrt{2}\) \) см.

5. Верные утверждения:

1) Если \( \sin \alpha = 0.4 \), то \( \cos \beta = \sin(90 - \alpha) = \cos \alpha \). В прямоугольном треугольнике острые углы \( \alpha \) и \( \beta \) такие, что \( \alpha + \beta = 90^\circ \). Тогда \( \cos \beta = \cos(90 - \alpha) = \sin \alpha = 0.4 \). Утверждение верно.

2) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). Утверждение неверно.

3) В прямоугольном треугольнике угол, лежащий против катета, это либо другой острый угол, либо прямой угол (если катет равен гипотенузе, что невозможно). Углы против катетов — острые. Утверждение верно.

4) Биссектриса, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы только в равнобедренном прямоугольном треугольнике. В общем случае это не так. Утверждение неверно.

Ответ: 13