Вариант 2 1. MN и MK — отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 5 см. Найдите MN и MK, если MO = 13 см. 2. Дано: L AOB: L SAC = 5 : 3 (рис. 8.179). Найти: L BOC, L ABC. 3. Хорды AB и CD пересекаются в точке F так, что AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Найдите CD.

1. Касательные к окружности:

Дано:

• Радиус окружности \( r = 5 \) см (OD = OE = 5).
• MO = 13 см.
• MN и MK — касательные, проведенные из точки M к окружности.

Найти: MN и MK.

Решение:

В точке касания радиус, проведенный к этой точке, перпендикулярен касательной. То есть, \( ∠ \text{MDO} = 90^ \) и \( ∠ \text{MKO} = 90^ \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник MDO. По теореме Пифагора:

\( \text{MD}^2 + \text{DO}^2 = \text{MO}^2 \)

\( \text{MD}^2 + 5^2 = 13^2 \)

\( \text{MD}^2 + 25 = 169 \)

\( \text{MD}^2 = 169 - 25 = 144 \)

\( \text{MD} = \text{sqrt}(144) = 12 \) см.

Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны по длине. Следовательно, MN = MK = MD.

Ответ: MN = MK = 12 см

2. Углы в окружности:

Дано:

• L AOB : L SAC = 5 : 3 (где L AOB - центральный угол, L SAC - вписанный угол).

Найти: L BOC, L ABC.

Решение:

Важно: В условии задачи указан рис. 8.179, но сам рисунок отсутствует. Будем исходить из стандартного расположения точек и углов, если рисунок не предоставлен.

Замечание: Обозначение "L AOB: L SAC = 5 : 3" не совсем корректно, так как L AOB — центральный угол, а L SAC — вписанный, они опираются на разные дуги. Если предполагается, что оба угла опираются на одну и ту же дугу, то центральный угол в два раза больше вписанного. Но здесь дано соотношение.

Предположим, что L AOB и L SAC относятся к разным дугам, но их величины связаны отношением 5:3.

Предположение 1: L AOB — центральный угол, L SAC — вписанный угол, и их величины относятся как 5:3. Это условие не дает достаточно информации для решения без рисунка, так как неизвестно, на какие дуги они опираются.

Предположение 2: Возможно, имелось в виду отношение каких-то других углов, или же L AOB и L SAC относятся к одной дуге. Если L AOB и L BAC (вписанный) опираются на одну дугу BC, то L AOB = 2 * L BAC. Но тут дано отношение L AOB : L SAC.

Предположение 3 (Наиболее вероятное, исходя из типовых задач): L AOB - центральный угол, а L ACB - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB. Тогда L AOB = 2 * L ACB. Но дано отношение L AOB : L SAC.

Попробуем интерпретировать L SAC как L BAC (вписанный угол, опирающийся на дугу BC).

Пусть \( ∠ \text{AOB} = 5x \) и \( ∠ \text{BAC} = 3x \). (Это предположение, так как L SAC может означать что угодно без рисунка).

Если \( ∠ \text{AOB} \) - центральный угол, он опирается на дугу AB. Тогда величина дуги AB равна \( 5x \).

Если \( ∠ \text{BAC} \) - вписанный угол, опирающийся на дугу BC, то величина дуги BC равна \( 2 \times ∠ \text{BAC} = 2 \times 3x = 6x \).

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: \( ∠ \text{BAC} + ∠ \text{ABC} + ∠ \text{BCA} = 180^ \).

\( 3x + ∠ \text{ABC} + ∠ \text{BCA} = 180^ \).

Центральный угол \( ∠ \text{BOC} \) опирается на дугу BC. Значит, \( ∠ \text{BOC} = \text{дуга BC} = 6x \).

Вписанный угол \( ∠ \text{ABC} \) опирается на дугу AC. Величина дуги AC = 360° - дуга AB - дуга BC = 360° - 5x - 6x = 360° - 11x.

\( ∠ \text{ABC} = \frac{1}{2} (\text{дуга AC}) = \frac{1}{2} (360^ - 11x) = 180^ - 5.5x \).

Вписанный угол \( ∠ \text{BCA} \) опирается на дугу AB. Значит, \( ∠ \text{BCA} = \frac{1}{2} (\text{дуга AB}) = \frac{1}{2} (5x) = 2.5x \).

Теперь подставим все в уравнение суммы углов треугольника:

\( 3x + (180^ - 5.5x) + 2.5x = 180^ \)

\( 3x - 5.5x + 2.5x + 180^ = 180^ \)

\( (3 - 5.5 + 2.5)x = 0 \)

\( 0x = 0 \).

Это означает, что данное соотношение углов не дает однозначного решения для x, либо есть ошибка в интерпретации задачи без рисунка.

Возможно, L SAC означает угол, опирающийся на дугу SC, где S - некоторая точка, или же это опечатка и имеется в виду другой угол.

Пересмотрим условие L AOB: L SAC = 5 : 3.

Если L AOB = 5x (центральный), то дуга AB = 5x.

Если L BAC = 3x (вписанный), то дуга BC = 6x.

Если L BOC = y (центральный), то дуга BC = y. Следовательно y = 6x.

Найдем L ABC (вписанный). Он опирается на дугу AC.

Дуга AC = 360° - дуга AB - дуга BC = 360° - 5x - 6x = 360° - 11x.

L ABC = (1/2) * дуга AC = (1/2) * (360° - 11x) = 180° - 5.5x.

Найдем L BCA (вписанный). Он опирается на дугу AB.

L BCA = (1/2) * дуга AB = (1/2) * 5x = 2.5x.

Сумма углов треугольника: L BAC + L ABC + L BCA = 180°.

3x + (180° - 5.5x) + 2.5x = 180°.

3x - 5.5x + 2.5x = 0.

0x = 0.

Это снова говорит о том, что x может быть любым, что неверно для конкретной задачи.

Возможно, L SAC не является вписанным углом, а является частью центрального угла или каким-то другим обозначением.

Учитывая, что это типовая задача, и часто в таких случаях L AOB - центральный, L ACB - вписанный, опирающиеся на одну дугу, ИЛИ L AOB и L ABC связаны каким-то образом.

Предположим, что L AOB и L ABC имеют отношение 5:3.

Пусть L AOB = 5x, тогда L ABC = 3x.

Но L AOB - центральный, L ABC - вписанный. Они не опираются на одну дугу в общем случае.

Если L AOB = 5x, то дуга AB = 5x.

Если L ABC = 3x, то дуга AC = 2 * L ABC = 6x.

Тогда дуга BC = 360° - 5x - 6x = 360° - 11x.

Центральный угол L BOC = дуга BC = 360° - 11x.

В треугольнике ABC: L BAC + L ABC + L BCA = 180°.

L BAC опирается на дугу BC, значит L BAC = (1/2) * дуга BC = (1/2) * (360° - 11x) = 180° - 5.5x.

L BCA опирается на дугу AB, значит L BCA = (1/2) * дуга AB = (1/2) * 5x = 2.5x.

Подставляем: (180° - 5.5x) + 3x + 2.5x = 180°.

180° - 5.5x + 5.5x = 180°.

180° = 180°.

Снова получаем тождество. Это означает, что x может быть любым, и задача не имеет однозначного решения без рисунка или более точной формулировки.

Предположим, что L AOB = 5x и L BAC = 3x, и они опираются на разные дуги, но есть дополнительное условие (например, треугольник равнобедренный или что-то еще, что не указано).

Без рисунка или более точной формулировки, задача 2 не решается однозначно.

3. Пересекающиеся хорды:

Дано:

• Хорды AB и CD пересекаются в точке F.
• AF = 4 см, BF = 16 см.
• CF = DF.

Найти: CD.

Решение:

По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

\( AF \times BF = CF \times DF \).

У нас AF = 4, BF = 16. Значит, \( 4 \times 16 = CF \times DF \).

\( 64 = CF \times DF \).

Также по условию CF = DF. Обозначим \( CF = DF = x \).

Тогда \( 64 = x \times x = x^2 \).

\( x = \text{sqrt}(64) = 8 \) см.

Значит, CF = 8 см и DF = 8 см.

Длина хорды CD равна сумме отрезков CF и DF:

\( CD = CF + DF = 8 + 8 = 16 \) см.

Ответ: CD = 16 см