Вариант 2 1. Начертите параллелограмм ABCD. Постройте образ этого параллелограмма при: а) симметрии относительно точки D; б) симметрии относительно прямой CD; в) параллельном переносе на вектор BD; г) повороте вокруг точки А на 45° против часовой стрелки.

Решение:

Для выполнения задания необходимо сначала начертить произвольный параллелограмм ABCD. Далее, для каждого пункта, строим образ параллелограмма, применяя указанные преобразования.

1. Симметрия относительно точки D:
   Для построения образа параллелограмма ABCD при симметрии относительно точки D, каждая вершина параллелограмма (A, B, C, D) отображается в точку (A', B', C', D') так, чтобы точка D была серединой отрезков AA', BB', CC', DD'.
   
   • Точка D отображается в себя (D' = D), так как она является центром симметрии.
   • Для точек A, B, C: Продолжаем отрезки DA, DB, DC за точку D на такое же расстояние. Точки пересечения новых отрезков с окружностью (или прямыми, построенными через D) будут A', B', C'.
   • Соединив полученные точки A'B'C'D', получим образ параллелограмма.
2. Симметрия относительно прямой CD:
   Для построения образа параллелограмма ABCD при симметрии относительно прямой CD, каждая вершина параллелограмма (A, B, C, D) отображается в точку (A', B', C', D') так, чтобы прямая CD была серединным перпендикуляром к отрезкам AA', BB', CC', DD'.
   
   • Точки C и D лежат на прямой CD, поэтому они отображаются в себя (C' = C, D' = D).
   • Для точек A и B: Из точек A и B проводим перпендикуляры к прямой CD. На продолжении этих перпендикуляров за прямую CD откладываем отрезки, равные расстоянию от A и B до прямой CD. Получаем точки A' и B'.
   • Соединив полученные точки A'B'CD, получим образ параллелограмма.
3. Параллельный перенос на вектор $$\vec{BD}$$:
   Для построения образа параллелограмма ABCD при параллельном переносе на вектор $$\vec{BD}$$, каждая вершина параллелограмма (A, B, C, D) сдвигается на вектор, равный $$\vec{BD}$$.
   
   • Для каждой вершины (A, B, C, D) строим вектор, равный $$\vec{BD}$$, начиная из этой вершины. Например, из точки A строим вектор A' так, чтобы $$\vec{AA'} = \vec{BD}$$.
   • Аналогично строим векторы $$\vec{BB'}$$, $$\vec{CC'}$$, $$\vec{DD'}$$.
   • Соединив полученные точки A'B'C'D', получим образ параллелограмма.
4. Поворот вокруг точки А на 45° против часовой стрелки:
   Для построения образа параллелограмма ABCD при повороте вокруг точки А на 45° против часовой стрелки, каждая вершина параллелограмма (A, B, C, D) поворачивается на указанный угол вокруг точки А.
   
   • Точка А остается на месте (A' = A), так как она является центром поворота.
   • Для точек B, C, D: Из точки А проводим лучи через точки B, C, D. Откладываем на этих лучах отрезки, равные AB, AC, AD соответственно, но повернутые на 45° против часовой стрелки. Получаем точки B', C', D'.
   • Соединив полученные точки AB'C'D', получим образ параллелограмма.

Примечание: Для точного построения потребуется циркуль и линейка.