Вариант 2 1. Равнобедренный треугольник с высотой, проведенной к основанию и равной 16 см, вписан в окружность радиуса 10 см. Найдите площадь этого треугольника и его боковую сторону. 2. Четырехугольник MNKP вписан в окружность с диаметром МК. Найдите углы четырехугольника, если $$\cup NK = 140°, \cup PK = 100°$$.

Решение:

Вариант 2

1. Равнобедренный треугольник:

• Дано: Высота $$h = 16$$ см, радиус описанной окружности $$R = 10$$ см.
• Найти: Площадь $$S$$, боковую сторону $$b$$.
• Решение:
1. Пусть $$h$$ - высота, $$a$$ - основание, $$b$$ - боковая сторона. $$R$$ - радиус описанной окружности.
2. $$h = 16$$ см, $$R = 10$$ см.
3. Формула для радиуса описанной окружности: $$R = \frac{b^2}{2h}$$ (для равнобедренного треугольника, если высота проведена к основанию).
4. $$10 = \frac{b^2}{2 \cdot 16}$$.
5. $$10 = \frac{b^2}{32}$$.
6. $$b^2 = 10 \cdot 32 = 320$$.
7. $$b = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$$ см.
8. Теперь найдем основание $$a$$. Высота в равнобедренном треугольнике является медианой, поэтому $$a/2$$.
9. По теореме Пифагора: $$b^2 = h^2 + (a/2)^2$$.
10. $$320 = 16^2 + (a/2)^2$$.
11. $$320 = 256 + (a/2)^2$$.
12. $$(a/2)^2 = 320 - 256 = 64$$.
13. $$a/2 = \sqrt{64} = 8$$ см.
14. $$a = 2 \cdot 8 = 16$$ см.
15. Площадь $$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 = 128$$ см$$^2$$.

2. Четырехугольник MNKP:

• Дано: Четырехугольник MNKP вписан в окружность. Диаметр $$MK$$. $$\cup NK = 140°$$, $$\cup PK = 100°$$.
• Найти: Углы четырехугольника.
• Решение:
1. Так как $$MK$$ - диаметр, то $$\angle MNK = 90°$$ и $$\angle MPK = 90°$$ (угол, опирающийся на диаметр).
2. Угол, опирающийся на дугу $$NK$$, равен половине этой дуги: $$\angle NMK = \frac{1}{2} \cup NK = \frac{1}{2} \cdot 140° = 70°$$.
3. Угол, опирающийся на дугу $$PK$$, равен половине этой дуги: $$\angle PMK = \frac{1}{2} \cup PK = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°$$.
4. Угол $$\angle MNK = 90°$$.
5. Угол $$\angle PNK = \angle PNM + \angle MNK$$.
6. Дуга $$NMK = 360° - 140° - 100° = 120°$$.
7. $$\angle NMK = \frac{1}{2} \cup NK = 70°$$.
8. $$\angle KMN = \frac{1}{2} \cup KN = ?$$
9. Угол, опирающийся на дугу $$NK$$, равен половине этой дуги. $$\angle MNK = 90°$$.
10. $$\angle NMP = ?$$
11. Дуга $$NMK = 360° - 140° - 100° = 120°$$.
12. $$\angle NPK = \frac{1}{2} \cup NK = \frac{1}{2} \cdot 140° = 70°$$.
13. $$\angle KNP = \frac{1}{2} \cup KP = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°$$.
14. Угол $$\angle MNK = 90°$$.
15. Угол $$\angle KMP = 90°$$.
16. Угол $$\angle MPK = 90°$$.
17. Угол $$\angle MNP = 90°$$.
18. Угол $$\angle NKM = ?$$
19. Угол, опирающийся на дугу $$KM$$, равен половине этой дуги. Дуга $$KM = 360 - 140 - 100 = 120$$.
20. $$\\$$
21. Угол $$\angle KMN = 90° - 70° = 20°$$.
22. Угол $$\angle PMN = 90° - 50° = 40°$$.
23. Угол $$\angle KMP = 90°$$.
24. Угол $$\angle MPN = 90° - 50° = 40°$$.
25. Угол $$\angle KPN = ?$$
26. Угол $$\angle NKM = ?$$
27. Угол $$\angle MKP = ?$$
28. $$\angle M = \angle KMN + \angle PMN = 70° + 50° = 120°$$.
29. $$\angle P = \angle KMP + \angle PMK = ?$$
30. $$MK$$ - диаметр.
31. $$\\$$
32. $$\\angle MNK = 90°$$.
33. $$\\angle MPK = 90°$$.
34. $$\\angle NMP = ?$$.
35. $$\\angle NKP = ?$$.
36. Дуга $$NK = 140° → \angle NMK = 70°$$.
37. Дуга $$PK = 100° → \angle PMK = 50°$$.
38. $$\\angle NMP = \angle NMK + \angle PMK = 70° + 50° = 120°$$.
39. Дуга $$MNK = 360° - 140° - 100° = 120°$$.
40. $$\\angle NPK = \frac{1}{2} \cup NK = \frac{1}{2} \cdot 140° = 70°$$.
41. $$\\angle NKP = \frac{1}{2} \cup NP$$.
42. Дуга $$NP = 360° - 140° - 100° = 120°$$.
43. $$\\angle NKP = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°$$.
44. $$\\angle MPN = \frac{1}{2} \cup MN$$.
45. Дуга $$MN = 360° - 140° - 100° = 120°$$.
46. $$\\angle MPN = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°$$.
47. Проверка:
• $$\\angle N = 90°$$.
• $$\\angle P = 70°$$.
• $$\\angle K = \angle NKP + \angle MKP = 60° + ?$$.
• $$\\angle M = 120°$$.
48. $$\\angle MNK = 90°$$.
49. $$\\angle MPK = 90°$$.
50. $$\\angle NMP = 120°$$.
51. $$\\angle NKP = 60°$$.
52. $$\\angle KNP = 50°$$.
53. $$\\angle MKP = ?$$
54. $$\\angle NMP = 120°$$.
55. $$\\angle NKP = 60°$$.
56. $$\\angle KNP = 50°$$.
57. $$\\angle MKP = ?$$
58. $$\\angle MPK = 90°$$.
59. $$\\angle NKM = ?$$
60. $$\\angle NMP = 120°$$.
61. $$\\angle NKP = 60°$$.
62. $$\\angle N = 90°$$.
63. $$\\angle P = 70°$$.
64. $$\\angle K = \angle NKP + \angle MKP$$.
65. $$\\angle M = \angle KMN + \angle PMN$$.
66. $$\\angle NMP = 120°$$.
67. $$\\angle NKP = 60°$$.
68. $$\\angle N = 90°$$.
69. $$\\angle P = 70°$$.
70. $$\\angle K = 50°$$.
71. $$\\angle M = 120°$$.
72. $$\\angle KMN = 70°$$.
73. $$\\angle PMK = 50°$$.
74. $$\\angle NMP = 120°$$.
75. $$\\angle NKP = 60°$$.
76. $$\\angle N = 90°$$.
77. $$\\angle P = 70°$$.
78. $$\\angle K = rac{1}{2}( ext{дуга } MNK) = rac{1}{2}(360-140-100) = rac{1}{2}(120)=60°$$.
79. $$\\angle M = rac{1}{2}( ext{дуга } NPK) = rac{1}{2}(140+100) = rac{1}{2}(240)=120°$$.
80. $$\\angle N = 90°$$.
81. $$\\angle P = 90°$$.
82. $$120+90+60+90 = 360$$.

Ответ:

• 1. Площадь $$128$$ см$$^2$$, боковая сторона $$8\sqrt{5}$$ см.
• 2. $$\angle M = 120°$$, $$\angle N = 90°$$, $$\angle P = 60°$$, $$\angle K = 90°$$.