Вариант 2 1. Решите методом подстановки систему уравнений \(\begin{cases} x + 4y = -6 \\ 3x - y = 8 \end{cases}\) 2. Решите методом сложения систему уравнений \(\begin{cases} 7x + 3y = 43 \\ 4x - 3y = 67 \end{cases}\) 3. Решите графически систему уравнений \(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 3 \end{cases}\) 4. Из двух городов, расстояние между которыми равно 52 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что первый велосипедист проезжает за 3 ч на 18 км больше, чем второй за 2 ч.

Вариант 2

1. Метод подстановки

Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 3x - 8 \).

Подставим в первое уравнение:

\( x + 4(3x - 8) = -6 \)

\( x + 12x - 32 = -6 \)

\( 13x = 26 \)

\( x = 2 \)

Теперь найдём \( y \):

\( y = 3(2) - 8 = 6 - 8 = -2 \)

Ответ: \( x = 2, y = -2 \).

2. Метод сложения

Сложим два уравнения системы, так как коэффициенты при \( y \) противоположны:

\(\begin{cases} 7x + 3y = 43 \\ 4x - 3y = 67 \end{cases}\)

\( (7x + 4x) + (3y - 3y) = 43 + 67 \)

\( 11x = 110 \)

\( x = 10 \)

Подставим \( x = 10 \) в первое уравнение:

\( 7(10) + 3y = 43 \)

\( 70 + 3y = 43 \)

\( 3y = -27 \)

\( y = -9 \)

Ответ: \( x = 10, y = -9 \).

3. Графический метод

Построим графики уравнений \( y = -x + 3 \) и \( y = 2x - 3 \).

График 1: \( y = -x + 3 \)

• При \( x = 0 \), \( y = 3 \). Точка (0, 3).
• При \( y = 0 \), \( x = 3 \). Точка (3, 0).

График 2: \( y = 2x - 3 \)

• При \( x = 0 \), \( y = -3 \). Точка (0, -3).
• При \( y = 0 \), \( x = 1.5 \). Точка (1.5, 0).

Пересечение графиков происходит в точке \( x = 2, y = 1 \).

Ответ: \( x = 2, y = 1 \).

4. Задача на движение

Пусть \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста, \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста.

Известно, что расстояние между городами 52 км, и велосипедисты встретились через 2 часа. Значит, сумма их скоростей равна:

\( v_1 + v_2 = \frac{52 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 26 \text{ км/ч} \)

Также известно, что первый велосипедист за 3 часа проезжает на 18 км больше, чем второй за 2 часа. Составим уравнение:

\( 3v_1 = 2v_2 + 18 \)

Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} v_1 + v_2 = 26 \\ 3v_1 = 2v_2 + 18 \end{cases}\)

Из первого уравнения выразим \( v_1 = 26 - v_2 \).

Подставим во второе уравнение:

\( 3(26 - v_2) = 2v_2 + 18 \)

\( 78 - 3v_2 = 2v_2 + 18 \)

\( 60 = 5v_2 \)

\( v_2 = 12 \text{ км/ч} \)

Теперь найдём \( v_1 \):

\( v_1 = 26 - v_2 = 26 - 12 = 14 \text{ км/ч} \)

Ответ: Скорость первого велосипедиста 14 км/ч, скорость второго велосипедиста 12 км/ч.