Вариант 2 1. Решите уравнение 6х^2 + 18x = 0. 2. Решите уравнение 4х^2 – 9 = 0. 3. Решите уравнение х^2 – 8х + 7 = 0. 4. Решите уравнение 3х^2 + 5x + 6 = 0. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого равно 84. Найдите эти числа. 6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника 7. (x+15)/4 - 21/(x+2) = 2;

Решение:

• 1. Уравнение 6х² + 18x = 0
  • Вынесем общий множитель 6х за скобки: 6х(х + 3) = 0
  • Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 6х = 0 или х + 3 = 0
  • Решаем полученные уравнения: х = 0 или х = -3
• 2. Уравнение 4х² – 9 = 0
  • Это разность квадратов: (2х)² - 3² = 0
  • Применяем формулу разности квадратов (a² - b²) = (a - b)(a + b): (2х - 3)(2х + 3) = 0
  • Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 2х - 3 = 0 или 2х + 3 = 0
  • Решаем полученные уравнения: 2х = 3 => х = 1.5; 2х = -3 => х = -1.5
• 3. Уравнение х² – 8х + 7 = 0
  • Решаем квадратное уравнение через дискриминант (D = b² - 4ac). Здесь a=1, b=-8, c=7.
  • D = (-8)² - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36
  • √D = 6
  • Находим корни по формуле x = (-b ± √D) / 2a:
  • x₁ = (8 + 6) / (2 * 1) = 14 / 2 = 7
  • x₂ = (8 - 6) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1
• 4. Уравнение 3x² + 5x + 6 = 0
  • Решаем квадратное уравнение через дискриминант (D = b² - 4ac). Здесь a=3, b=5, c=6.
  • D = 5² - 4 * 3 * 6 = 25 - 72 = -47
  • Так как дискриминант отрицательный (D < 0), действительных корней у уравнения нет.
• 5. Произведение двух натуральных чисел
  • Пусть одно число равно х, тогда второе равно х + 5.
  • Их произведение: х(х + 5) = 84
  • Раскрываем скобки: х² + 5х = 84
  • Переносим все в одну сторону: х² + 5х - 84 = 0
  • Решаем квадратное уравнение через дискриминант (D = b² - 4ac). Здесь a=1, b=5, c=-84.
  • D = 5² - 4 * 1 * (-84) = 25 + 336 = 361
  • √D = 19
  • Находим корни:
  • x₁ = (-5 + 19) / (2 * 1) = 14 / 2 = 7
  • x₂ = (-5 - 19) / (2 * 1) = -24 / 2 = -12
  • Так как числа натуральные, выбираем положительный корень: х = 7.
  • Первое число: 7. Второе число: 7 + 5 = 12.
  • Проверка: 7 * 12 = 84.
• 6. Периметр и площадь прямоугольника
  • Пусть стороны прямоугольника равны a и b.
  • Периметр (P) = 2(a + b) = 22 см.
  • Площадь (S) = a * b = 24 см².
  • Из уравнения периметра: a + b = 22 / 2 = 11.
  • Выразим одну сторону через другую, например, b = 11 - a.
  • Подставим это в уравнение площади: a * (11 - a) = 24.
  • Раскроем скобки: 11a - a² = 24.
  • Перенесем все в одну сторону: a² - 11a + 24 = 0.
  • Решаем квадратное уравнение через дискриминант (D = b² - 4ac). Здесь a=1, b=-11, c=24.
  • D = (-11)² - 4 * 1 * 24 = 121 - 96 = 25.
  • √D = 5.
  • Находим корни:
  • a₁ = (11 + 5) / (2 * 1) = 16 / 2 = 8.
  • a₂ = (11 - 5) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3.
  • Если одна сторона равна 8 см, то вторая сторона b = 11 - 8 = 3 см.
  • Если одна сторона равна 3 см, то вторая сторона b = 11 - 3 = 8 см.
• 7. Уравнение (x+15)/4 - 21/(x+2) = 2
  • Приведем к общему знаменателю (4(x+2)):
  • (x+15)(x+2) / (4(x+2)) - (21 * 4) / (4(x+2)) = 2
  • (x² + 2x + 15x + 30) / (4(x+2)) - 84 / (4(x+2)) = 2
  • (x² + 17x + 30 - 84) / (4(x+2)) = 2
  • (x² + 17x - 54) / (4x + 8) = 2
  • Перемножим крест-накрест: x² + 17x - 54 = 2(4x + 8)
  • x² + 17x - 54 = 8x + 16
  • Перенесем все в одну сторону: x² + 17x - 8x - 54 - 16 = 0
  • x² + 9x - 70 = 0
  • Решаем квадратное уравнение через дискриминант (D = b² - 4ac). Здесь a=1, b=9, c=-70.
  • D = 9² - 4 * 1 * (-70) = 81 + 280 = 361.
  • √D = 19.
  • Находим корни:
  • x₁ = (-9 + 19) / (2 * 1) = 10 / 2 = 5.
  • x₂ = (-9 - 19) / (2 * 1) = -28 / 2 = -14.
  • Проверим, не обращают ли корни знаменатель в ноль. Знаменатель равен 4(x+2). При x=5, 4(5+2) = 4*7 = 28 (не ноль). При x=-14, 4(-14+2) = 4*(-12) = -48 (не ноль).

Ответ: 1. х=0, х=-3; 2. х=1.5, х=-1.5; 3. х=7, х=1; 4. Действительных корней нет; 5. Числа 7 и 12; 6. Стороны 3 см и 8 см; 7. х=5, х=-14.