Вариант 22. A) 3x^4 + 18x^2 + 27 = 0 Б) – x^4 – x^2 + 6 = 0 B) - 3x^4 - 21x^2 - 36 = 0

Решение:

Данное задание представляет собой выбор правильного уравнения из предложенных вариантов. Чтобы определить, какое из уравнений является верным, нужно проанализировать каждое из них.

Вариант А

• Уравнение: \( 3x^4 + 18x^2 + 27 = 0 \)
• Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( 3y^2 + 18y + 27 = 0 \).
• Разделим все члены на 3: \( y^2 + 6y + 9 = 0 \).
• Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или, заметив, что это полный квадрат: \( (y+3)^2 = 0 \).
• Отсюда \( y = -3 \).
• Подставляем обратно \( x^2 = y \): \( x^2 = -3 \).
• Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Вариант Б

• Уравнение: \( -x^4 - x^2 + 6 = 0 \)
• Умножим на -1: \( x^4 + x^2 - 6 = 0 \).
• Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 + y - 6 = 0 \).
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4  1  (-6) = 1 + 24 = 25 \). \( √{D} = 5 \).
• Корни: \( y_1 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) и \( y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
• Подставляем обратно \( x^2 = y \):
• \( x^2 = -3 \) — не имеет действительных корней.
• \( x^2 = 2 \) — имеет два действительных корня: \( x = √{2} \) и \( x = -√{2} \).
• Таким образом, данное уравнение имеет действительные корни.

Вариант В

• Уравнение: \( -3x^4 - 21x^2 - 36 = 0 \)
• Умножим на -1: \( 3x^4 + 21x^2 + 36 = 0 \).
• Разделим все члены на 3: \( x^4 + 7x^2 + 12 = 0 \).
• Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 + 7y + 12 = 0 \).
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 7^2 - 4  1  12 = 49 - 48 = 1 \). \( √{D} = 1 \).
• Корни: \( y_1 = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \) и \( y_2 = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
• Подставляем обратно \( x^2 = y \):
• \( x^2 = -4 \) — не имеет действительных корней.
• \( x^2 = -3 \) — не имеет действительных корней.
• Таким образом, данное уравнение не имеет действительных корней.

Финальный ответ: Вариант Б является единственным уравнением, имеющим действительные корни.