Вариант 3. 1. Найдите длину отрезка MN и координаты его середины, если M (−4; 3) и N (6; −5). 2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке F (3; −2) и которая проходит через точку N (5; −9). 3. Найдите координаты вершины C параллелограмма ABCD, если A (−3; 3), B (−1; 4), D (8; 1). 4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D (3; −4) и B (5; 8). 5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек D (1; 10) и K (7; 8). 6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой y = −6x − 1 и проходит через центр окружности x² + y² − 4x + 6y + 5 = 0.

1. Разности координат: \(\Delta x=6-(-4)=10\), \(\Delta y=-5-3=-8\).

Длина отрезка: \(MN=\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\).

Середина отрезка: \(S\left(\frac{-4+6}{2};\frac{3+(-5)}{2}\right)=S(1;-1)\).

2. Радиус окружности: \(r^2=(5-3)^2+(-9+2)^2=4+49=53\).

Уравнение окружности с центром \(F(3;-2)\): \((x-3)^2+(y+2)^2=53\).

3. В параллелограмме \(\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}\), поэтому \(C=B+D-A\).

\(C=(-1;4)+(8;1)-(-3;3)=(10;2)\).

4. Угловой коэффициент прямой: \(k=\frac{8-(-4)}{5-3}=6\).

Уравнение через точку \(D(3;-4)\): \(y+4=6(x-3)\).

После преобразования: \(y=6x-22\).

5. Точка на оси абсцисс имеет вид \(P(x;0)\). По условию равенства расстояний:

\((x-1)^2+10^2=(x-7)^2+8^2\).

\(x^2-2x+101=x^2-14x+113\), откуда \(12x=12\), \(x=1\).

Искомая точка: \(P(1;0)\).

6. Приведём уравнение окружности к каноническому виду:

\(x^2-4x+y^2+6y+5=0\),

\((x-2)^2+(y+3)^2=8\).

Центр окружности: \(O(2;-3)\). Параллельная прямая имеет угловой коэффициент \(-6\).

Через центр: \(y+3=-6(x-2)\).

Ответ: \(y=-6x+9\).

Итог: 1) \(MN=2\sqrt{41}\), середина \((1;-1)\); 2) \((x-3)^2+(y+2)^2=53\); 3) \(C(10;2)\); 4) \(y=6x-22\); 5) \((1;0)\); 6) \(y=-6x+9\).