Вариант 3. 1. Найдите область определения функции: а) y = x⁴ + 6x − 2; б) y = 1/(6x² − 5x − 1); в) y = √(4x + 1). 2. Определите, является ли функция y = f(x) чётной или нечётной, если: а) f(x) = 5x⁴ − 3x²; б) f(x) = −2/x³; в) f(x) = √(6 − x). 3. Постройте график функции y = x² − 6x + 5. С помощью графика найдите: а) значение y при x = 0,5; б) значения x, при которых y = −1; в) углы наклона и промежутки знакопостоянства; г) промежуток, на котором функция возрастает; д) множество значений функции. 4. Найдите, при каких значениях a наименьшее значение функции y = x² + 2x + a равно −25.

1. Область определения

1. а) Многочлен определён при всех действительных x: D(y) = ℝ.
2. б) Знаменатель не должен равняться нулю: 6x² − 5x − 1 = (6x + 1)(x − 1) ≠ 0. Следовательно, D(y) = ℝ \ {−1/6; 1}.
3. в) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 4x + 1 ≥ 0, поэтому D(y) = [−1/4; +∞).

2. Чётность и нечётность

1. а) f(−x) = 5(−x)⁴ − 3(−x)² = f(x), поэтому функция чётная.
2. б) f(−x) = −2/(−x)³ = 2/x³ = −f(x), поэтому функция нечётная.
3. в) Область определения x ≤ 6 не симметрична относительно нуля, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

3. График y = x² − 6x + 5

1. а) При x = 0,5: y = 0,5² − 6·0,5 + 5 = 0,25 − 3 + 5 = 9/4.
2. б) Решаем x² − 6x + 5 = −1, то есть x² − 6x + 6 = 0. Отсюда x = 3 ± √3.
3. в) Вершина параболы: x₀ = 3, y₀ = −4; ось симметрии — x = 3, ветви направлены вверх. Нули функции — 1 и 5. Функция положительна при x < 1 и x > 5, отрицательна при 1 < x < 5.
4. г) Парабола возрастает на [3; +∞).
5. д) Наименьшее значение равно −4, поэтому множество значений функции: [−4; +∞).

4. Минимум функции

Выделим полный квадрат: y = x² + 2x + a = (x + 1)² + a − 1. Минимум равен a − 1 и достигается при x = −1. Тогда a − 1 = −25, откуда a = −24.