Вариант 3. 1. Найдите значение производной функции \(y=f(x)\) в точке \(x_0\), если \(f(x)=\sin x\), \(x_0=-\frac{\pi}{4}\). 2. Найдите производную функции: а) \(y=0{,}25x^4+x^2-4\); б) \(y=(x^2-5x)(1-2\sqrt{x})\); в) \(y=\frac{2}{\sqrt{x}}\); г) \(y=-\frac{2}{\cos x}\); д) \(y=\frac{\sin x}{x^2+3}\); е) \(y=(3x+1)\operatorname{ctg}x\).

Для \(f(x)=\sin x\) имеем \(f'(x)=\cos x\). Поэтому \(f'\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Применяем правила дифференцирования степенных и тригонометрических функций, произведения и частного.

• а) \(y'=0.25\cdot4x^3+2x=x^3+2x\).
• б) По правилу произведения: \(y'=(2x-5)(1-2\sqrt{x})-\frac{x^2-5x}{\sqrt{x}}\).
• в) \(y=2x^{-1/2}\), поэтому \(y'=-x^{-3/2}=-\frac{1}{x\sqrt{x}}\).
• г) \(y'=-\frac{2\sin x}{\cos^2 x}\).
• д) По правилу частного: \(y'=\frac{(x^2+3)\cos x-2x\sin x}{(x^2+3)^2}\).
• е) По правилу произведения: \(y'=3\operatorname{ctg}x-\frac{3x+1}{\sin^2 x}\).