Вариант 3. 1. Найдите значение выражения: а) 9⁻¹⁴ · 9¹⁶; б) 6⁻¹⁰ : 6⁻⁹; в) (2⁻²)³. 2. Упростите выражение: а) 8x⁻⁵y⁷ · 1,25x⁸y⁻¹²; б) (6a²/(5b⁻⁴))⁻¹ · 72a⁻⁸b⁷. 3. Представьте в стандартном виде число: а) 73 000; б) 0,0502; в) 349,7 · 10⁵; г) 4781 · 10⁻⁴. 4. Вычислите: (5¹¹ · 125⁻⁶)/(25⁻³). 5. Найдите массу стального бруска длиной 13 см, шириной 5 см и высотой 6 мм, если известно, что m = ρV, а плотность стали ρ = 7,8 г/см³. Результат выразите в килограммах и запишите в стандартном виде.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем, при делении — вычитаем, а степень степени вычисляем умножением показателей.

а) \(9^{-14}\cdot9^{16}=9^2=81\).

б) \(6^{-10}:6^{-9}=6^{-1}=\frac{1}{6}\).

в) \((2^{-2})^3=2^{-6}=\frac{1}{64}\).

а) Перемножаем коэффициенты и складываем показатели степеней одинаковых переменных: \(8\cdot1.25\,x^{-5+8}y^{7-12}=10x^3y^{-5}=\frac{10x^3}{y^5}\).

б) Сначала упрощаем выражение в скобках и применяем отрицательную степень: \(\left(\frac{6a^2}{5b^{-4}}\right)^{-1}=\left(\frac{6}{5}a^2b^4\right)^{-1}=\frac{5}{6a^2b^4}\). Тогда \(\frac{5}{6a^2b^4}\cdot72a^{-8}b^7=60a^{-10}b^3=\frac{60b^3}{a^{10}}\).

Стандартный вид числа — \(c\cdot10^n\), где \(1\le c<10\).

а) \(73\,000=7.3\cdot10^4\).

б) \(0.0502=5.02\cdot10^{-2}\).

в) \(349.7\cdot10^5=3.497\cdot10^2\cdot10^5=3.497\cdot10^7\).

г) \(4781\cdot10^{-4}=4.781\cdot10^3\cdot10^{-4}=4.781\cdot10^{-1}\).

Представим числа как степени основания 5: \(125=5^3\), \(25=5^2\).

\(\frac{5^{11}\cdot125^{-6}}{25^{-3}}=\frac{5^{11}\cdot5^{-18}}{5^{-6}}=5^{-1}=\frac{1}{5}=0.2\).

Переведём высоту в сантиметры: \(6\text{ мм}=0.6\text{ см}\).

Объём бруска: \(V=13\cdot5\cdot0.6=39\text{ см}^3\).

Масса: \(m=\rho V=7.8\cdot39=304.2\text{ г}=0.3042\text{ кг}=3.042\cdot10^{-1}\text{ кг}\).

Ответ: \(3.042\cdot10^{-1}\) кг.