Вариант 3. 1. Определить вид треугольника со сторонами 8; 15; 17. 2. В треугольнике две стороны равны 12 см и 13 см, а угол между ними — 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 3. Решите треугольник: a = 10; b = 12; ∠A = 45°.

1. Наибольшая сторона — 17. Проверим обратную теорему Пифагора: \(8^2+15^2=64+225=289=17^2\). Значит, треугольник прямоугольный.

Ответ: прямоугольный треугольник.

2. По теореме косинусов для стороны, лежащей напротив угла 60°:

\(c^2=12^2+13^2-2\cdot12\cdot13\cos60^\circ=144+169-156=157\), поэтому \(c=\sqrt{157}\) см.

Площадь по двум сторонам и углу между ними: \(S=\frac12\cdot12\cdot13\cdot\sin60^\circ=39\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{39\sqrt3}{2}\) см².

Ответ: третья сторона — \(\sqrt{157}\) см; площадь — \(\frac{39\sqrt3}{2}\) см².

3. По теореме синусов \(\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{12\sin45^\circ}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}\). Поскольку значение меньше 1, возможны два угла B в пределах от 0° до 180°.

1. \(B\approx58.21^\circ\), тогда \(C=180^\circ-45^\circ-B\approx76.79^\circ\). По теореме синусов \(c=\frac{a\sin C}{\sin A}\approx13.76\).
2. \(B\approx121.79^\circ\), тогда \(C=180^\circ-45^\circ-B\approx13.21^\circ\). По теореме синусов \(c=\frac{a\sin C}{\sin A}\approx3.24\).

Ответ: два решения: \(B\approx58.21^\circ\), \(C\approx76.79^\circ\), \(c\approx13.76\); или \(B\approx121.79^\circ\), \(C\approx13.21^\circ\), \(c\approx3.24\).