Вариант 3. 1. Отрезки АС и ВМ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику СМА. 2. Отрезок АМ - биссектриса треугольника АВС. Через точку М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Докажите, что треугольник АМЕ равнобедренный. 3. Найдите смежные углы, если один из них на 45 больше другого. 4. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50 градусам. Найдите эти углы. 5. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол АМВ, если ∠A = 58°, ∠B = 96°. 6. С помощью циркуля и линейки, покажите как построить середину данного отрезка.

Решение по Варианту 3:

1. Доказательство равенства треугольников ABC и CMA:
   • Дано: AC и BM пересекаются в точке O, AO = OC, BO = OM.
   • Треугольники ABO и CMO равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): AO = OC (по условию), BO = OM (по условию), ∠AOB = ∠COM (как вертикальные углы).
   • Следовательно, AB = CM.
   • Также, треугольники BOC и AOM равны по первому признаку равенства треугольников: BO = OM, AO = OC, ∠BOC = ∠AOM.
   • Следовательно, BC = AM.
   • Из равенства треугольников ABO и CMO следует, что ∠BAC = ∠MCA.
   • Поскольку AB = CM и BC = AM, и углы при основании AC равны, то треугольники ABC и CMA равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) или по первому признаку (например, по сторонам AB=CM, BC=AM и углу между ними, если мы докажем их равенство).
   • Вывод: Треугольник ABC равен треугольнику CMA.
2. Доказательство равнобедренности треугольника AME:
   • Дано: AM — биссектриса ∠BAC, ME || AC.
   • Так как ME || AC, то ∠AME = ∠MAC (как накрест лежащие углы при параллельных ME и AC и секущей AM).
   • Так как AM — биссектриса ∠BAC, то ∠BAM = ∠MAC.
   • Следовательно, ∠AME = ∠BAM.
   • В треугольнике AME углы ∠MAE и ∠AME равны (∠MAE = ∠BAM).
   • Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно, треугольник AME — равнобедренный (с основанием AE).
   • Вывод: Треугольник AME равнобедренный.
3. Нахождение смежных углов:
   • Пусть один угол равен x.
   • Тогда другой угол равен x + 45°.
   • Сумма смежных углов равна 180°.
   • Составляем уравнение: x + (x + 45°) = 180°
   • 2x + 45° = 180°
   • 2x = 180° - 45°
   • 2x = 135°
   • x = 135° / 2
   • x = 67.5°
   • Один угол = 67.5°.
   • Другой угол = 67.5° + 45° = 112.5°.
   • Проверка: 67.5° + 112.5° = 180°.
   • Ответ: 67.5° и 112.5°.
4. Нахождение односторонних углов:
   • Дано: Две параллельные прямые пересечены секущей. Разность односторонних углов равна 50°.
   • Пусть один угол равен α, а другой — β.
   • По условию, α - β = 50°.
   • Односторонние углы в сумме дают 180°, то есть α + β = 180°.
   • Решаем систему уравнений:
     • α - β = 50°
     • α + β = 180°
   • Складываем уравнения: (α - β) + (α + β) = 50° + 180°
   • 2α = 230°
   • α = 115°
   • Подставляем значение α во второе уравнение: 115° + β = 180°
   • β = 180° - 115°
   • β = 65°
   • Проверка: 115° - 65° = 50°.
   • Ответ: 115° и 65°.
5. Нахождение угла AMB:
   • Дано: В треугольнике ABC ∠A = 58°, ∠B = 96°. AM и BM — биссектрисы.
   • Сумма углов треугольника ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
   • 58° + 96° + ∠C = 180°.
   • 154° + ∠C = 180°.
   • ∠C = 180° - 154° = 26°.
   • AM — биссектриса ∠A, значит ∠BAM = ∠A / 2 = 58° / 2 = 29°.
   • BM — биссектриса ∠B, значит ∠ABM = ∠B / 2 = 96° / 2 = 48°.
   • В треугольнике AMB сумма углов: ∠AMB + ∠BAM + ∠ABM = 180°.
   • ∠AMB + 29° + 48° = 180°.
   • ∠AMB + 77° = 180°.
   • ∠AMB = 180° - 77° = 103°.
   • Ответ: 103°.
6. Построение середины отрезка:
   • Инструкция:
   • 1. Пусть дан отрезок AB.
   • 2. Из точки A провести дугу окружности радиусом, большим половины отрезка AB.
   • 3. Из точки B провести дугу окружности тем же радиусом.
   • 4. Дуги пересекутся в двух точках, назовем их C и D.
   • 5. Соединить точки C и D прямой линией.
   • 6. Прямая CD пересечет отрезок AB в его середине.
   • Обоснование: Треугольники ADC и BDC равны по третьему признаку равенства (по трем сторонам). AC = BC, AD = BD, CD — общая сторона. Следовательно, ∠CAD = ∠CBD. В треугольниках AOC и BOC (где O - точка пересечения CD и AB), AO = BO, AC = BC, ∠CAO = ∠CBO. Таким образом, треугольники AOC и BOC равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, CO — биссектриса и медиана, а значит, AO = BO. Точка O — середина отрезка AB.