Вариант 3. 1. Отрезки АС и ВМ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику СМА. 2. Отрезок АМ - биссектриса треугольника АВС. Через точку М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Докажите, что треугольник АМЕ равнобедренный. 3. Найдите смежные углы, если один из них на 45 больше другого. 4. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50 градусам. Найдите эти углы. 5. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол АМВ, если ∠A = 58°, ∠B = 96°. 6. С помощью циркуля и линейки, покажите как построить середину данного отрезка.

Вариант 3.

1. Доказательство равенства треугольников ABC и CMA:
   1. По условию, отрезки AC и BM пересекаются в точке, которая делит их пополам. Пусть эта точка - O. Тогда AO = OC и BO = OM.
   2. Рассмотрим треугольники ABC и CMA.
   3. AB = CM (по условию, отрезки AC и BM делятся пополам, но это не даёт равенства AB и CM, нужно переформулировать условие или доказательство).
   4. Предположение: Возможно, условие подразумевает, что AM = CM и BM = AC, или что точка пересечения делит AC и BM пополам. Будем исходить из того, что точка пересечения O делит AC и BM пополам, т.е. AO = OC и BO = OM.
   5. Треугольники ABO и CMO:
      1. AO = OC (по условию).
      2. BO = OM (по условию).
      3. ∠AOB = ∠COM (как вертикальные углы).
      4. Следовательно, ΔABO = ΔCMO (по двум сторонам и углу между ними - признак равенства).
      5. Из равенства треугольников следует, что AB = CM.
   6. Треугольники BOC и AOМ:
      1. BO = OM (по условию).
      2. AO = OC (по условию).
      3. ∠BOC = ∠AOM (как вертикальные углы).
      4. Следовательно, ΔBOC = ΔAOM (по двум сторонам и углу между ними - признак равенства).
      5. Из равенства треугольников следует, что BC = AM.
   7. Теперь рассмотрим треугольники ABC и CMA:
      1. AC - общая сторона.
      2. AB = CM (доказано ранее).
      3. BC = AM (доказано ранее).
      4. Следовательно, ΔABC = ΔCMA (по трём сторонам - признак равенства).
2. Доказательство равнобедренности треугольника AME:
   1. AM - биссектриса ∠BAC.
   2. ME || AC.
   3. Рассмотрим ∠AME и ∠MAC. Так как ME || AC, то ∠AME = ∠MAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых ME и AC и секущей AM).
   4. Рассмотрим ∠AEM и ∠MAC. Так как ME || AC, то ∠AEM = ∠MAC (как соответственные углы при параллельных прямых ME и AC и секущей AB).
   5. Из ∠AME = ∠MAC и ∠AEM = ∠MAC следует, что ∠AME = ∠AEM.
   6. Поскольку в ΔAME два угла равны, то этот треугольник равнобедренный с основанием AE.
3. Нахождение смежных углов:
   1. Пусть один угол равен \( x \) градусам.
   2. Тогда второй смежный угол равен \( x + 45 \) градусам.
   3. Сумма смежных углов равна 180°.
   4. Составим уравнение: \( x + (x + 45) = 180 \).
   5. \( 2x + 45 = 180 \).
   6. \( 2x = 180 - 45 \).
   7. \( 2x = 135 \).
   8. \( x = \frac{135}{2} = 67.5 \) градуса.
   9. Тогда второй угол равен \( 67.5 + 45 = 112.5 \) градуса.
4. Нахождение односторонних углов:
   1. Пусть односторонние углы равны \( α \) и \( β \).
   2. При пересечении параллельных прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°.
   3. По условию, разность этих углов равна 50°.
   4. Пусть \( α - β = 50 \)°.
   5. \( α + β = 180 \)°.
   6. Сложим два уравнения: \( (α - β) + (α + β) = 50 + 180 \).
   7. \( 2α = 230 \).
   8. \( α = \frac{230}{2} = 115 \) градусов.
   9. Подставим значение \( α \) в второе уравнение: \( 115 + β = 180 \).
   10. \( β = 180 - 115 = 65 \) градусов.
5. Нахождение угла AMB:
   1. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   2. В ΔABC: \( 4A + 4B + 4C = 180^0 \).
   3. Угол ∠A = 58°, ∠B = 96°.
   4. ∠C = 180° - (58° + 96°) = 180° - 154° = 26°.
   5. AM - биссектриса ∠A, значит, ∠BAM = ∠A / 2 = 58° / 2 = 29°.
   6. BM - биссектриса ∠B, значит, ∠ABM = ∠B / 2 = 96° / 2 = 48°.
   7. В ΔAMB: ∠AMB + ∠BAM + ∠ABM = 180°.
   8. ∠AMB + 29° + 48° = 180°.
   9. ∠AMB + 77° = 180°.
   10. ∠AMB = 180° - 77° = 103°.
6. Построение середины отрезка:
   1. Шаг 1: Проведите отрезок AB.
   2. Шаг 2: Из точки A постройте окружность радиусом, большим половины отрезка AB.
   3. Шаг 3: Из точки B постройте окружность таким же радиусом.
   4. Шаг 4: Окружности пересекутся в двух точках. Проведите прямую через эти точки.
   5. Шаг 5: Прямая, проходящая через точки пересечения окружностей, будет перпендикулярна отрезку AB и будет делить его пополам. Точка пересечения этой прямой с отрезком AB и будет серединой отрезка.

Ответ: 1. ΔABC = ΔCMA. 2. ΔAME - равнобедренный. 3. Углы равны 67.5° и 112.5°. 4. Углы равны 115° и 65°. 5. Угол AMB равен 103°. 6. Середина отрезка построена с помощью циркуля и линейки.