Вариант 3. 1. Постройте график функции $y=x^2-4x-5$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=0{,}5$; б) значения $x$, при которых $y=3$; в) нули функции; промежутки, в которых $y>0$ и в которых $y<0$; г) промежуток, в котором функция возрастает. 2. Найдите наименьшее значение функции $y=x^2+2x-24$. 3. Найдите область значений функции $y=x^2-2x-8$, где $x\in[-1;3]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 3. 1. Постройте график функции $y=x^2-4x-5$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=0{,}5$; б)…$ Фото задания

Вариант 3. 1. Постройте график функции $y=x^2-4x-5$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=0{,}5$; б) значения $x$, при которых $y=3$; в) нули функции; промежутки, в которых $y>0$ и в которых $y<0$; г) промежуток, в котором функция возрастает. 2. Найдите наименьшее значение функции $y=x^2+2x-24$. 3. Найдите область значений функции $y=x^2-2x-8$, где $x\in[-1;3]$.

Accepted Answer

1. Выделим полный квадрат: $y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9$. Это парабола с ветвями вверх, вершиной $(2;-9)$ и осью симметрии $x=2$.

При $x=0.5$: $y=0.5^2-4\cdot0.5-5=0.25-2-5=-6.75$. Значит, $y=-6.75$.
При $y=3$: $x^2-4x-5=3$, то есть $x^2-4x-8=0$. Отсюда $x=2\pm2\sqrt3$ (приблизительно $-1.46$ и $5.46$).
Нули: $x^2-4x-5=(x+1)(x-5)=0$, поэтому $x=-1$ и $x=5$. Парабола выше оси $x$ при $x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$, ниже — при $x\in(-1;5)$.
Ветви направлены вверх, поэтому функция возрастает при $x\in[2;+\infty)$ (строго возрастает на $(2;+\infty)$).

2. $y=x^2+2x-24=(x+1)^2-25$. Так как квадрат неотрицателен, наименьшее значение достигается при $x=-1$ и равно $-25$.

3. $y=x^2-2x-8=(x-1)^2-9$. На отрезке $[-1;3]$ вершина $x=1$ принадлежит отрезку, поэтому минимум равен $-9$. На концах: $y(-1)=-5$, $y(3)=-5$. Следовательно, область значений — $[-9;-5]$.

Ответ: 1) а) −6,75; б) $x=2\pm2\sqrt3$; в) нули −1 и 5, $y>0$ при $x<−1$ или $x>5$, $y<0$ при $−1<x<5$; г) функция возрастает при $x\ge2$. 2) −25. 3) $[-9;−5]$.