Вариант 3. 1. Постройте график функции y = x² − 4x − 5. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = 0,5; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает. 2. Найдите наименьшее значение функции y = x² + 2x − 24. 3. Найдите область значений функции y = x² − 2x − 8, где x ∈ [−1; 3]. 4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y = ⅓x² и прямая y = 6x − 15. Если точки пересечения существуют, найдите их координаты. 5. Найдите значение выражения ∛(−4 17/27) + 6·⁴√(3 13/81).

1. Преобразуем функцию: \(y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9\). Вершина параболы — \((2;-9)\), ветви направлены вверх. Для построения графика используем точки, симметричные относительно оси \(x=2\): \((-1;0),(0;-5),(1;-8),(2;-9),(3;-8),(4;-5),(5;0)\).

1. При \(x=0.5\): \(y=0.5^2-4\cdot0.5-5=0.25-2-5=-6.75\).
2. При \(y=3\): \(x^2-4x-8=0\), поэтому \(x=2\pm2\sqrt3\).
3. Нули: \((x-5)(x+1)=0\), значит \(x=-1\) и \(x=5\). Парабола направлена вверх, поэтому \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)\), а \(y<0\) при \(x\in(-1;5)\).
4. Вершина имеет абсциссу 2; функция возрастает при \(x\in[2;+∞)\).

Ответ: а) −6,75; б) \(x=2\pm2\sqrt3\); в) нули −1 и 5, \(y>0\) на \((−∞;−1)\cup(5;+∞)\), \(y<0\) на \((−1;5)\); г) функция возрастает на \([2;+∞)\).

2. Выделим квадрат: \(y=x^2+2x-24=(x+1)^2-25\). Так как \((x+1)^2\ge0\), наименьшее значение равно −25 и достигается при \(x=-1\).

Ответ: −25.

3. Вершина параболы \(y=x^2-2x-8=(x-1)^2-9\) находится при \(x=1\), что входит в заданный отрезок; там \(y=-9\). На концах отрезка: \(y(-1)=-5\), \(y(3)=-5\). Следовательно, область значений — \([-9;-5]\).

Ответ: \([-9;-5]\).

4. Приравняем выражения: \(\frac13x^2=6x-15\), откуда \(x^2-18x+45=0\). Дискриминант \(D=18^2-4\cdot45=144\), поэтому \(x=(18\pm12)/2\), то есть \(x=3\) или \(x=15\). Подстановка в прямую даёт соответственно \(y=3\) и \(y=75\).

Ответ: пересекаются в точках (3; 3) и (15; 75).

5. Преобразуем смешанные числа: \(-4\frac{17}{27}=-\frac{125}{27}\), а \(3\frac{13}{81}=\frac{256}{81}\). Тогда \(\sqrt[3]{-\frac{125}{27}}+6\sqrt[4]{\frac{256}{81}}=-\frac53+6\cdot\frac43=\frac{19}{3}\).

Ответ: \(\frac{19}{3}\).