Вариант 3. 1. Повторение систем счисления: А) Перевести число 43 из десятичной системы в 2-ую, 8-ую, 16-ную системы счисления. Б) Перевести числа: 110011₂, 33₈, 4D₁₆ в десятичную систему счисления. 2. Повторение алгебры логики. Напишите наименьшее двузначное число, для которого истинно высказывание: (первая цифра четная) И НЕ (число делится на 4) 3. Повторение простых исполнителей. У исполнителя Альфа две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 2 2. раздели на b (b - неизвестное натуральное число, b >= 2) Выполняя первую из них, Альфа увеличивает число на экране в 2 раза, а затем делит это число на b. Программа для исполнителя Альфа состоит из номеров команд. Известно, что программа 12111 переводит число 54 в число 10. Определите значение b.

Решение:

1. Повторение систем счисления:

А) Перевод числа 43₁₀ в другие системы счисления:

• В двоичную систему (2):

Делим 43 на 2:

43 | 2
42 | 21
-- | --
 1 | 10
10 | 5
-- | --
 0 | 2
-- | --
 1 | 1
 0 | 0
-- | --
 1 | 

Записываем остатки снизу вверх: 101011₂

• В восьмеричную систему (8):

Делим 43 на 8:

43 | 8
40 | 5
-- | --
 3 | 

Результат: 53₈

• В шестнадцатеричную систему (16):

Делим 43 на 16:

43 | 16
32 | 2
-- | --
11 | 

Остаток 11 соответствует букве 'B' в шестнадцатеричной системе. Результат: 2B₁₆

Б) Перевод чисел в десятичную систему счисления:

• 110011₂ = 1 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51₁₀
• 33₈ = 3 * 8¹ + 3 * 8⁰ = 24 + 3 = 27₁₀
• 4D₁₆ = 4 * 16¹ + D * 16⁰ = 4 * 16 + 13 * 1 = 64 + 13 = 77₁₀

2. Повторение алгебры логики:

Ищем наименьшее двузначное число X, для которого истинно высказывание: (первая цифра X четная) И НЕ (X делится на 4).

Проверим двузначные числа, начиная с наименьшего (10):

• 10: Первая цифра (1) - нечетная. Высказывание ложно.
• 11: Первая цифра (1) - нечетная. Высказывание ложно.
• 12: Первая цифра (1) - нечетная. Высказывание ложно.
• ...
• 20: Первая цифра (2) - четная. X делится на 4 (20 / 4 = 5). Высказывание (Четная И НЕ Делится на 4) -> (ИСТИНА И НЕ ИСТИНА) -> (ИСТИНА И ЛОЖЬ) -> ЛОЖЬ.
• 21: Первая цифра (2) - четная. X не делится на 4. Высказывание (Четная И НЕ Делится на 4) -> (ИСТИНА И НЕ ЛОЖЬ) -> (ИСТИНА И ИСТИНА) -> ИСТИНА.

Наименьшее двузначное число, удовлетворяющее условию - 21.

3. Повторение простых исполнителей:

Исполнитель Альфа имеет команды:

• 1: прибавить 2 (умножает число на экране на 2)
• 2: разделить на b

Программа: 12111. Исходное число: 54. Конечное число: 10.

Разберем программу по действиям:

1. 1: 54 * 2 = 108
2. 2: 108 / b
3. 1: (108 / b) * 2
4. 1: ((108 / b) * 2) * 2
5. 1: (((108 / b) * 2) * 2) * 2 = 10

Упростим выражение:

54 * 2 * 2 * 2 * 2 / b = 10

54 * 16 / b = 10

864 / b = 10

b = 864 / 10

b = 86.4

По условию, b - натуральное число. Проверим условие, что Альфа увеличивает число на экране в 2 раза (команда 1) и затем делит на b (команда 2).

Возможно, в условии команды перепутаны или описаны неточно. Будем исходить из программы 12111 и результата.

Пусть команды такие:

• 1: умножить на 2
• 2: разделить на b

Программа: 12111. Исходное: 54. Конечная: 10.

54 * 2 : b * 2 * 2 * 2 = 10

54 * (2/b) * 8 = 10

432 / b = 10

b = 432 / 10 = 43.2. Это не натуральное число.

Рассмотрим другой вариант интерпретации команд, где команда 1 - "прибавь 2", а команда 2 - "раздели на b".

Программа: 12111. Исходное: 54. Конечная: 10.

1. Прибавить 2: 54 + 2 = 56

2. Разделить на b: 56 / b

1. Прибавить 2: (56 / b) + 2

1. Прибавить 2: ((56 / b) + 2) + 2

1. Прибавить 2: (((56 / b) + 2) + 2) + 2 = 10

((56 / b) + 6) = 10

56 / b = 10 - 6

56 / b = 4

b = 56 / 4

b = 14

Проверим:

Исходное число: 54

1. Прибавить 2: 54 + 2 = 56

2. Разделить на 14: 56 / 14 = 4

1. Прибавить 2: 4 + 2 = 6

1. Прибавить 2: 6 + 2 = 8

1. Прибавить 2: 8 + 2 = 10

Получили 10. Значение b = 14 подходит.

Ответ:

1. А) 43₁₀ = 101011₂ = 53₈ = 2B₁₆
2. Б) 110011₂ = 51₁₀, 33₈ = 27₁₀, 4D₁₆ = 77₁₀
3. 21
4. b = 14