Вариант 3. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{28b^6}{c^3}\cdot\frac{c^5}{84b^6}$; б) $30x^2y:\frac{72xy}{z}$; в) $\frac{3x+6}{x+3}\cdot\frac{x^2-9}{x^2-4}$; г) $\frac{2a-b}{a}\cdot\left(\frac{a}{2a-b}+\frac{a}{b}\right)$. 2. Постройте график функции $y=\frac4x$. Какова область определения функции? При каких значениях $x$ функция принимает положительные значения? 3. Докажите, что при всех значениях $y\ne\pm3$ значение выражения $\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\cdot\left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)$ не зависит от $y$. 4. При каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\frac{\frac{3x}{6}}{1-\frac{6}{10-5x}}$?

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 3. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{28b^6}{c^3}\cdot\frac{c^5}{84b^6}$; б) $30x^2y:\frac{72xy}{z}$; в)…$ Фото задания

Вариант 3. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{28b^6}{c^3}\cdot\frac{c^5}{84b^6}$; б) $30x^2y:\frac{72xy}{z}$; в) $\frac{3x+6}{x+3}\cdot\frac{x^2-9}{x^2-4}$; г) $\frac{2a-b}{a}\cdot\left(\frac{a}{2a-b}+\frac{a}{b}\right)$. 2. Постройте график функции $y=\frac4x$. Какова область определения функции? При каких значениях $x$ функция принимает положительные значения? 3. Докажите, что при всех значениях $y\ne\pm3$ значение выражения $\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\cdot\left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)$ не зависит от $y$. 4. При каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\frac{\frac{3x}{6}}{1-\frac{6}{10-5x}}$?

Accepted Answer

1. Представление в виде дроби

а) Сократим общие множители: $\frac{28b^6}{c^3}\cdot\frac{c^5}{84b^6}=\frac{c^2}{3}$. Ограничения исходного выражения: $b\ne0,\ c\ne0$.
б) Деление на дробь заменим умножением на обратную: $30x^2y:\frac{72xy}{z}=30x^2y\cdot\frac{z}{72xy}=\frac{5xz}{12}$. В исходном выражении требуются $x\ne0, y\ne0, z\ne0$.
в) Разложим на множители: $\frac{3(x+2)}{x+3}\cdot\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{3(x-3)}{x-2}$. Ограничения: $x\ne-3,-2,2$.
г) Приведём выражение в скобках к общему знаменателю: $\frac{2a-b}{a}\cdot\left(\frac{ab+a(2a-b)}{b(2a-b)}\right)=\frac{2a-b}{a}\cdot\frac{2a^2}{b(2a-b)}=\frac{2a}{b}$. Ограничения: $a\ne0, b\ne0, 2a-b\ne0$.

2. График $y=\frac4x$

Это гипербола с ветвями в I и III четвертях. Для построения можно отметить точки $(1;4), (2;2), (4;1), (-1;-4), (-2;-2), (-4;-1)$ и провести через них плавные ветви, приближающиеся к осям координат.

В знаменателе не может быть нуля, поэтому область определения: $x\ne0$. Дробь $4/x$ положительна, когда числитель и знаменатель одного знака; так как $4>0$, это выполняется при $x>0$.

Ответ: область определения — все $x\ne0$; положительные значения функция принимает при $x>0$.

3. Доказательство

Поскольку $9-6y+y^2=(y-3)^2$, а $9-y^2=(3-y)(3+y)$, при $y\ne\pm3$:

\[\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\left(\frac{2}{(y-3)^2}+\frac{1}{(3-y)(3+y)}\right)=\frac{2y}{y+3}+2-\frac{y-3}{y+3}.\]

Сводим к общему знаменателю: $\frac{2y-(y-3)}{y+3}+2=1+2=3$. Значение выражения постоянно.

Ответ: значение выражения равно 3 при всех допустимых $y\ne\pm3$.

4. Область допустимых значений

Внутренний знаменатель должен быть ненулевым: $10-5x\ne0$, откуда $x\ne2$. Также знаменатель всей дроби не должен обращаться в ноль:

\[1-\frac{6}{10-5x}=0\quad\Longrightarrow\quad 10-5x=6\quad\Longrightarrow\quad x=\frac45.\]

Это значение исключается. Следовательно, выражение имеет смысл при всех действительных $x$, кроме $2$ и $\frac45$.

Ответ: $x\in\mathbb R\setminus\left\{2,\frac45\right\}$.