Вариант 3. 1. Решите неравенства: а) (x² − 49)(x² − 2x − 35) ≥ 0; б) (x⁴ − 16x²)(−2x² − 5) < 0. 2. Найдите целые решения неравенства: (x² − 10x + 21)/(x² − 6x + 9) ≤ 0. 3. Решите неравенство: (25 − x²)√((x − 3)/(x + 3)) ≥ 0.

1а) Разложим множители на множители:

\((x^2-49)(x^2-2x-35)=(x-7)(x+7)(x-7)(x+5)=(x-7)^2(x+7)(x+5)\).

Множитель \((x-7)^2\) неотрицателен и обращается в ноль при \(x=7\). Поэтому произведение неотрицательно при \((x+7)(x+5)\ge 0\) или при \(x=7\). Получаем \(x\in(-\infty;-7]\cup[-5;+\infty)\).

1б) Поскольку \(-2x^2-5<0\) при всех действительных \(x\), для строгого неравенства необходимо \(x^4-16x^2>0\).

\(x^4-16x^2=x^2(x-4)(x+4)\). Отсюда \(x\ne0\) и \(|x|>4\), значит \(x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty)\).

2. Разложим числитель и знаменатель:

\(\dfrac{x^2-10x+21}{x^2-6x+9}=\dfrac{(x-3)(x-7)}{(x-3)^2}\), где \(x\ne3\).

При \(x\ne3\) знаменатель положителен, поэтому требуется \((x-3)(x-7)\le0\). Получаем \(x\in[3;7]\), но \(x=3\) исключается из области определения. Целые решения: \(4, 5, 6, 7\).

3. Область определения корня задаётся условием \(\dfrac{x-3}{x+3}\ge0\), откуда \(x\in(-\infty;-3)\cup[3;+\infty)\).

Корень неотрицателен. На области определения произведение неотрицательно, когда \(25-x^2\ge0\), то есть \(-5\le x\le5\). Пересекаем с областью определения:

\(x\in[-5;-3)\cup[3;5]\).