Вариант 3. 1. Решите треугольник: а) a = 10; b = 12; ∠A = 45°; б) ∠C = 120°; ∠A = 30°; c = 13; в) a = 7; b = 9; c = 11.

Используем стандартное обозначение: стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C соответственно.

а) По теореме косинусов для стороны a:

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\), поэтому \(c^2-12\sqrt{2}c+44=0\).

Отсюда \(c=6\sqrt{2}\pm2\sqrt{7}\). Оба значения положительны, поэтому возможны два треугольника:

1. \(c=6\sqrt{2}+2\sqrt{7}\approx13.78\). По теореме синусов \(\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{3\sqrt{2}}{5}\); для этого треугольника \(B\approx58.1°\), следовательно, \(C=180°-45°-B\approx76.9°\).
2. \(c=6\sqrt{2}-2\sqrt{7}\approx3.19\). Здесь \(B\approx121.9°\), следовательно, \(C=180°-45°-B\approx13.1°\).

Ответ: два решения: \((B,C,c)\approx(58.1°,76.9°,13.78)\) или \((121.9°,13.1°,3.19)\).

б) Сумма углов треугольника равна \(180°\), поэтому \(B=180°-120°-30°=30°\). Так как \(A=B\), то \(a=b\). По теореме синусов:

\(\frac{a}{\sin30°}=\frac{13}{\sin120°}\), откуда \(a=b=\frac{13}{\sqrt{3}}=\frac{13\sqrt{3}}{3}\approx7.51\).

Ответ: \(B=30°\), \(a=b=\frac{13\sqrt{3}}{3}\).

в) По теореме косинусов:

\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{9^2+11^2-7^2}{2\cdot9\cdot11}=\frac{19}{22}\), поэтому \(A\approx30.3°\).

\(\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{7^2+11^2-9^2}{2\cdot7\cdot11}=\frac{89}{154}\), поэтому \(B\approx54.6°\).

\(C=180°-A-B\approx95.1°\).

Ответ: \(A\approx30.3°\), \(B\approx54.6°\), \(C\approx95.1°\).