Вариант 3. 1. Решите уравнение: а) x³ − 36x = 0; б) (x² − 1)/6 − (x − 1)/4 = 3. 2. Решите биквадратное уравнение x⁴ − 29x² + 100 = 0. 3. При каких a значение дроби (a³ + 108 − 3a² − 36a)/(a² − 9) равно нулю? 4. Решите уравнение: а) (5y − 6)/(4y² − 9) − (3 − 3y)/(3 + 2y) = 3/(2y − 3); б) (x² − x + 1)(x² − x − 2) = 378. 5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = x³/(x − 4) и y = x² + 2x.

1а) Вынесем общий множитель: \(x^3-36x=x(x-6)(x+6)=0\). Поэтому \(x=-6, 0, 6\).

1б) Умножим обе части на 12: \(2(x^2-1)-3(x-1)=36\), откуда \(2x^2-3x-35=0\). Разложение: \((x-5)(2x+7)=0\). Следовательно, \(x=5\) или \(x=-\frac{7}{2}\).

2. Сделаем замену \(t=x^2\): \(t^2-29t+100=0=(t-25)(t-4)\). Тогда \(x^2=25\) или \(x^2=4\), поэтому \(x=-5,-2,2,5\).

3. Область допустимых значений: \(a\ne -3,3\). Числитель разложим на множители: \(a^3-3a^2-36a+108=(a-3)(a^2-36)=(a-3)(a-6)(a+6)\). Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значение \(a=3\) исключается; подходят \(a=-6\) и \(a=6\).

4а) ОДЗ: \(y\ne -\frac32,\frac32\). Умножим уравнение на \((2y-3)(2y+3)\): \((5y-6)-(3-3y)(2y-3)=3(2y+3)\). После упрощения получаем \(3y^2-8y-3=0\), то есть \((3y+1)(y-3)=0\). Оба корня допустимы: \(y=-\frac13,3\).

4б) Обозначим \(z=x^2-x\). Тогда \((z+1)(z-2)=378\), откуда \(z^2-z-380=0\). Корни: \(z=20\) и \(z=-19\). При \(z=20\): \(x^2-x-20=0\), поэтому \(x=5\) или \(x=-4\). При \(z=-19\) уравнение \(x^2-x+19=0\) не имеет действительных корней. Ответ: \(x=-4,5\).

5. Приравняем функции, учитывая, что \(x\ne4\): \(\frac{x^3}{x-4}=x^2+2x\). После умножения на \(x-4\): \(x^3=(x^2+2x)(x-4)\), откуда \(2x^2+8x=0\), то есть \(2x(x+4)=0\). Получаем \(x=0\) или \(x=-4\). Подставляя во вторую функцию, находим соответственно \(y=0\) и \(y=8\).

Ответ: точки пересечения графиков — \((0;0)\) и \((-4;8)\).