Вариант 3. 1. Сократите дроби: а) $\frac{22p^4q^2}{99p^5q}$; б) $\frac{7a}{a^2+5a}$; в) $\frac{x^2-y^2}{4x+4y}$. 2. Представьте в виде дроби: а) $\frac{y-20}{4y}+\frac{5y-2}{y^2}$; б) $\frac{1}{5c-d}-\frac{1}{5c+d}$; в) $\frac{7}{a+5}-\frac{7a-3}{a^2+5a}$. 3. Найдите значение выражения $\frac{14b^2-c}{7b}-2b$ при $b=0{,}5,\ c=-14$. 4. Упростите выражение $\frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}-\frac{3x}{x^2-49}+\frac{21}{49-x^2}$. 5. При каких целых значениях $p$ является целым числом значение выражения $\frac{(2p+1)^2-3p+2}{p}$?

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 3. 1. Сократите дроби: а) $\frac{22p^4q^2}{99p^5q}$; б) $\frac{7a}{a^2+5a}$; в) $\frac{x^2-y^2}{4x+4y}$. 2.…$ Фото задания

Вариант 3. 1. Сократите дроби: а) $\frac{22p^4q^2}{99p^5q}$; б) $\frac{7a}{a^2+5a}$; в) $\frac{x^2-y^2}{4x+4y}$. 2. Представьте в виде дроби: а) $\frac{y-20}{4y}+\frac{5y-2}{y^2}$; б) $\frac{1}{5c-d}-\frac{1}{5c+d}$; в) $\frac{7}{a+5}-\frac{7a-3}{a^2+5a}$. 3. Найдите значение выражения $\frac{14b^2-c}{7b}-2b$ при $b=0{,}5,\ c=-14$. 4. Упростите выражение $\frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}-\frac{3x}{x^2-49}+\frac{21}{49-x^2}$. 5. При каких целых значениях $p$ является целым числом значение выражения $\frac{(2p+1)^2-3p+2}{p}$?

Accepted Answer

Сокращаем общие множители, учитывая, что знаменатели исходных дробей не равны нулю:
а) $\frac{22p^4q^2}{99p^5q}=\frac{2q}{9p}$; б) $\frac{7a}{a^2+5a}=\frac{7a}{a(a+5)}=\frac{7}{a+5}$; в) $\frac{x^2-y^2}{4x+4y}=\frac{(x-y)(x+y)}{4(x+y)}=\frac{x-y}{4}$.
Приводим слагаемые к общему знаменателю:
а) $\frac{y-20}{4y}+\frac{5y-2}{y^2}=\frac{y(y-20)+4(5y-2)}{4y^2}=\frac{y^2-8}{4y^2}$.
б) $\frac{1}{5c-d}-\frac{1}{5c+d}=\frac{(5c+d)-(5c-d)}{(5c-d)(5c+d)}=\frac{2d}{25c^2-d^2}$.
в) $\frac{7}{a+5}-\frac{7a-3}{a^2+5a}=\frac{7a-(7a-3)}{a(a+5)}=\frac{3}{a(a+5)}$.
Упростим выражение, затем подставим значения:
$\frac{14b^2-c}{7b}-2b=2b-\frac{c}{7b}-2b=-\frac{c}{7b}$.
$-\frac{-14}{7\cdot0{,}5}=4$.
Разложим разности квадратов на множители: $x^2-49=(x-7)(x+7)$, $49-x^2=-(x-7)(x+7)$. Тогда
\[\frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}-\frac{3x}{x^2-49}+\frac{21}{49-x^2}=\frac{5x(x+7)-2(x^2-49)-3x^2-21x}{x(x-7)(x+7)}=\frac{14(x+7)}{x(x-7)(x+7)}=\frac{14}{x(x-7)}.\]
Ограничения: $x\ne0,\ x\ne7,\ x\ne-7$.
Раскроем скобки и разделим каждый член числителя на $p$:
$\frac{(2p+1)^2-3p+2}{p}=\frac{4p^2+p+3}{p}=4p+1+\frac{3}{p}$, где $p\ne0$.
При целом $p$ выражение будет целым тогда и только тогда, когда $\frac{3}{p}$ — целое число, то есть $p$ является делителем числа 3.

Ответ: 1) а) $\frac{2q}{9p}$; б) $\frac{7}{a+5}$; в) $\frac{x-y}{4}$. 2) а) $\frac{y^2-8}{4y^2}$; б) $\frac{2d}{25c^2-d^2}$; в) $\frac{3}{a(a+5)}$. 3) 4. 4) $\frac{14}{x(x-7)}$. 5) $p=-3,-1,1,3$.