Вариант 3. 1. Точка F принадлежит отрезку AB. Найдите длину отрезка AF, если FB = 5,4 см, AB = 8,3 см. 2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 53°. Найдите градусные меры остальных углов. 3. Один из смежных углов в 2 раза больше другого. Найдите эти углы. 4. На рисунке 40 ∠AOC = ∠FOC, ∠BOC = ∠DOC. Докажите, что ∠AOB = ∠FOD. 5. Какой угол образует биссектриса угла, равного 94°, с лучом, дополнительным к одной из его сторон? 6. Точки M, K и P лежат на одной прямой, MK = 35 см, отрезок MP в 6 раз больше отрезка KP. Найдите отрезок KP.

Так как F лежит на отрезке AB, то AB = AF + FB. Поэтому AF = 8,3 − 5,4 = 2,9 см.

Вертикальный угол равен данному: 53°. Каждый смежный с ним угол равен 180° − 53° = 127°.

Ответ: 53°, 127° и 127°.

Смежные углы в сумме составляют 180°. Пусть меньший угол равен x°, тогда больший равен 2x°.

x + 2x = 180, откуда x = 60. Второй угол равен 120°.

Ответ: 60° и 120°.

По рисунку лучи расположены в порядке OA, OB, OC, OD, OF. Обозначим ∠AOB = x, ∠BOC = y, ∠COD = z, ∠DOF = w.

Из ∠BOC = ∠DOC следует y = z. Из ∠AOC = ∠FOC получаем x + y = z + w. Подставляя y = z, имеем x = w. Следовательно, ∠AOB = ∠FOD.

Биссектриса делит угол 94° пополам: 94° : 2 = 47°. Луч, дополнительный к стороне угла, образует с этой стороной развернутый угол. Поэтому искомый угол равен 180° − 47° = 133°.

Ответ: 133°.

Положение точек на прямой не уточнено, поэтому возможны разные случаи.

Если K лежит между M и P, то MP = MK + KP. Обозначим KP = x; тогда 6x = 35 + x, откуда x = 7 см.

Если M лежит между K и P, то KP = MK + MP. Тогда x = 35 + 6x, откуда x = −7, что невозможно для длины.

Если P лежит между M и K, то MK = MP + KP, поэтому 35 = 6x + x и x = 5 см.

Ответ: KP = 7 см или 5 см — в зависимости от расположения точек.