Вариант 3. 1. Вычислите: а) (6! + 7!) : 5!; б) 20!/(15! · 5!). 2. Сократите дробь n(n − 1)!/(n + 2)!. 3. Решите уравнение (n + 1)! = 12(n − 1)!, если n ∈ N.

а) Вынесем 6! за скобки и сократим на 5!: \(\frac{6!+7!}{5!}=\frac{6!(1+7)}{5!}=6\cdot8=48\).

б) \(\frac{20!}{15!\cdot5!}=\frac{16\cdot17\cdot18\cdot19\cdot20}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=15504\).

Ответ: а) 48; б) 15504.

Раскроем факториал в знаменателе: \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)!\). Сокращаем общие множители:

\(\frac{n(n-1)!}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\).

Ответ: \(\frac{1}{(n+1)(n+2)}\).

Раскроем числитель: \((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\). Поскольку \((n-1)!\neq0\), сокращаем на него:

\((n+1)n=12\), то есть \(n^2+n-12=0\). Разложим: \((n+4)(n-3)=0\), откуда \(n=-4\) или \(n=3\). Натуральному условию удовлетворяет только \(n=3\).

Ответ: \(n=3\).