Вариант 3. Вычислите определенные интегралы элементарных функций: 1) $$\int_{1}^{3} 2x dx$$ 2) $$\int_{1}^{2} (2x - \sqrt{x}) dx$$ 3) $$\int_{1}^{4} \frac{2}{x^3} dx$$ 4) $$\int_{1}^{3} (2x + 3)^4 dx$$ 5) $$\int_{\pi/6}^{\pi/2} (cos x - 2 sin x) dx$$ 6) $$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{2}{sin^2 x} dx$$

Question

Вопрос:

Вариант 3. Вычислите определенные интегралы элементарных функций: 1) $$\int_{1}^{3} 2x dx$$ 2) $$\int_{1}^{2} (2x - \sqrt{x}) dx$$ 3) $$\int_{1}^{4} \frac{2}{x^3} dx$$ 4) $$\int_{1}^{3} (2x + 3)^4 dx$$ 5) $$\int_{\pi/6}^{\pi/2} (cos x - 2 sin x) dx$$ 6) $$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{2}{sin^2 x} dx$$

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

1) $$\int_{1}^{3} 2x dx$$
Используем формулу интегрирования степенной функции: $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$.
$$ \int_{1}^{3} 2x dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} = \left[ x^2 \right]_{1}^{3} = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8 $$
Ответ: 8
2) $$\int_{1}^{2} (2x - \sqrt{x}) dx$$
Интегрируем каждый член отдельно.
$$ \int_{1}^{2} (2x - x^{1/2}) dx = \left[ 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{2} = \left[ x^2 - \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{1}^{2} $$
$$ = \left( 2^2 - \frac{2}{3}(2)^{3/2} \right) - \left( 1^2 - \frac{2}{3}(1)^{3/2} \right) $$
$$ = \left( 4 - \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} \right) - \left( 1 - \frac{2}{3} \right) $$
$$ = 4 - \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{12 - 4\sqrt{2} - 1}{3} = \frac{11 - 4\sqrt{2}}{3} $$
Ответ: $$\frac{11 - 4\sqrt{2}}{3}$$
3) $$\int_{1}^{4} \frac{2}{x^3} dx$$
Перепишем дробь как степень: $$\frac{2}{x^3} = 2x^{-3}$$.
$$ \int_{1}^{4} 2x^{-3} dx = 2 \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{1}^{4} = \left[ -x^{-2} \right]_{1}^{4} = \left[ -\frac{1}{x^2} \right]_{1}^{4} $$
$$ = \left( -\frac{1}{4^2} \right) - \left( -\frac{1}{1^2} \right) = -\frac{1}{16} + 1 = \frac{15}{16} $$
Ответ: $$\frac{15}{16}$$
4) $$\int_{1}^{3} (2x + 3)^4 dx$$
Используем метод замены переменной или заменим $$u = 2x+3$$. Тогда $$du = 2dx$$, $$dx = \frac{1}{2}du$$.
При $$x=1$$, $$u = 2(1)+3 = 5$$.
При $$x=3$$, $$u = 2(3)+3 = 9$$.
$$ \int_{5}^{9} u^4 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{5}^{9} = \frac{1}{10} \left[ u^5 \right]_{5}^{9} $$
$$ = \frac{1}{10} (9^5 - 5^5) = \frac{1}{10} (59049 - 3125) = \frac{55924}{10} = 5592.4 $$
Ответ: 5592.4
5) $$\int_{\pi/6}^{\pi/2} (cos x - 2 sin x) dx$$
Интегрируем каждый член отдельно.
$$ \int_{\pi/6}^{\pi/2} (cos x - 2 sin x) dx = \left[ sin x - 2(-cos x) \right]_{\pi/6}^{\pi/2} = \left[ sin x + 2cos x \right]_{\pi/6}^{\pi/2} $$
$$ = \left( sin(\pi/2) + 2cos(\pi/2) \right) - \left( sin(\pi/6) + 2cos(\pi/6) \right) $$
$$ = (1 + 2 \cdot 0) - (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - (\frac{1}{2} + \sqrt{3}) $$
$$ = 1 - \frac{1}{2} - \sqrt{3} = \frac{1}{2} - \sqrt{3} $$
Ответ: $$\frac{1}{2} - \sqrt{3}$$
6) $$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{2}{sin^2 x} dx$$
Перепишем дробь: $$\frac{2}{sin^2 x} = 2csc^2 x$$.
Интеграл от $$csc^2 x$$ равен $$-cot x$$.
$$ \int_{\pi/6}^{\pi/3} 2csc^2 x dx = 2 \left[ -cot x \right]_{\pi/6}^{\pi/3} = -2 \left[ cot x \right]_{\pi/6}^{\pi/3} $$
$$ = -2 \left( cot(\pi/3) - cot(\pi/6) \right) = -2 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} \right) $$
$$ = -2 \left( \frac{1 - 3}{\sqrt{3}} \right) = -2 \left( -\frac{2}{\sqrt{3}} \right) = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} $$
Ответ: $$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$